Encontre as primitivas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve
no denominador, portanto a escrita original só faz sentido para . - A tarefa é encontrar todas as funções
tais que no domínio onde está definida.
Passo 2
Vamos simplificar algebricamente
antes de integrar. Para
vale
então
Multiplicando por
obtemos
Substituindo na expressão de
,
Portanto, para
,
Passo 3
O que significa “achar primitivas” de
quando
?
Definição rápida e útil: uma primitiva (ou antiderivada) de
é uma função que satisfaz
no domínio considerado.
Definição rápida e útil: uma primitiva (ou antiderivada)
Propriedade básica que vamos usar:
- A derivada de uma constante é zero. Ou seja, para qualquer constante
,
Logo qualquer função constante é uma primitiva da função zero em qualquer intervalo em que a função esteja definida.
Também é importante lembrar uma observação sobre domínios:
tem duas componentes conectadas,
e
. Em cada uma dessas componentes a primitiva de
é uma constante, mas os constantes nas duas componentes podem ser diferentes sem violar
em todo
.
Passo 4
Conclusão prática e verificação:
- Em qualquer intervalo que não contenha
com
constantes arbitrárias. Essa função satisfaz
para todo
.]
Resposta
Em qualquer intervalo contido em
:
.
Sobre
: