Encontre as primitivas das funções:
f(x)=\frac{4}{x^{-1}}-4 x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
f(x)=\frac{4}{x^{-1}}-4x.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve x^{-1} no denominador, portanto a escrita original só faz sentido para x\neq 0.
  • A tarefa é encontrar todas as funções F tais que F'(x)=f(x) no domínio onde f está definida.

Passo 2

Vamos simplificar algebricamente f(x) antes de integrar. Para x\neq 0 vale
x^{-1}=\frac{1}{x},
então
\frac{1}{x^{-1}}=\frac{1}{1/x}=x.
Multiplicando por 4 obtemos
\frac{4}{x^{-1}}=4x.
Substituindo na expressão de f,
f(x)=4x-4x.
Portanto, para x\neq 0,
f(x)=0.

Passo 3

O que significa “achar primitivas” de f quando f(x)=0?
Definição rápida e útil: uma primitiva (ou antiderivada) F de f é uma função que satisfaz F'(x)=f(x) no domínio considerado.
Propriedade básica que vamos usar:
  • A derivada de uma constante é zero. Ou seja, para qualquer constante C,
\frac{d}{dx}C=0.
Logo qualquer função constante é uma primitiva da função zero em qualquer intervalo em que a função esteja definida.
Também é importante lembrar uma observação sobre domínios: \mathbb{R}\setminus\{0\} tem duas componentes conectadas, (-\infty,0) e (0,\infty). Em cada uma dessas componentes a primitiva de 0 é uma constante, mas os constantes nas duas componentes podem ser diferentes sem violar F'(x)=0 em todo \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Conclusão prática e verificação:
  • Em qualquer intervalo que não contenha 0\) (por exemplo \((a,b)\) com \(0\notin(a,b)\)), todas as primitivas de \(f\) são as funções constantes \(F(x)=C\). Verificação: \(\dfrac{d}{dx}C=0=f(x)\). - Sobre todo o domínio de \(f\), que é \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), a primitiva geral pode ser dada peça a peça por constantes possivelmente distintas nas duas componentes: \[F(x)=\begin{cases} C_1, & x<0,\\[4pt] C_2, & x>0, \end{cases}
com C_1\] e \(C_2 constantes arbitrárias. Essa função satisfaz F'(x)=0=f(x) para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.]

Resposta

Em qualquer intervalo contido em \mathbb{R}\setminus\{0\}: F(x)=C.
Sobre \mathbb{R}\setminus\{0\}:
F(x)=\begin{cases} C_1, & x<0,\\[4pt] C_2, & x>0, \end{cases}]

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