Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de
usando o método da integração por partes.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - Quer-se a integral indefinida
. - O método indicado é a integração por partes.
Passo 2
Apresentar e entender a fórmula da integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se
e
forem diferenciáveis, então
Integramos ambos os lados em relação a
e isolamos
(onde
e
), obtendo a fórmula:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos; é sua diferencial ( ). -
é a outra parte do integrando, escolhida de forma que seja fácil integrar; é uma primitiva de ( ).
Dica prática para escolher: escolhaque simplifique ao derivar (por exemplo polinômios) e escolha que seja fácil de integrar (por exemplo funções trigonométricas, exponenciais, etc.).
Passo 3
Escolher
e
para o nosso caso. Para
a escolha natural é:
porque derivando
obtemos algo mais simples (
sem
) e
é fácil de integrar. Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicar a fórmula da integração por partes
. Substituindo os valores:
Simplificando:
A integral restante é imediata:
Portanto:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida (boa prática em prova): derivar o resultado para checar se volta à função original. Calculemos
. Usando a regra do produto:
e
Somando:
que é exatamente
. Está conferido!
Passo 6
Erros comuns para evitar na prova:
- Esquecer o sinal ao integrar
(lembre que ). - Esquecer a constante
. - Escolher
que complica em vez de simplificar; para produtos com polinômios e funções trigonométricas/exponenciais, geralmente escolha o polinômio como .
Força aí — você já chegou na resposta e confirmou que está correta!