Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x \sin x

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x\sin x e pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de f usando o método da integração por partes.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é \,x\sin x\,.
  • Quer-se a integral indefinida \displaystyle\int x\sin x\,dx.
  • O método indicado é a integração por partes.

Passo 2

Apresentar e entender a fórmula da integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) forem diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Integramos ambos os lados em relação a x e isolamos \int u\,dv (onde dv=\frac{dv}{dx}\,dx e du=\frac{du}{dx}\,dx), obtendo a fórmula:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos; du é sua diferencial ( du=u'(x)\,dx).
  • dv é a outra parte do integrando, escolhida de forma que seja fácil integrar; v é uma primitiva de dv ( v=\int dv).
    Dica prática para escolher: escolha u que simplifique ao derivar (por exemplo polinômios) e escolha dv que seja fácil de integrar (por exemplo funções trigonométricas, exponenciais, etc.).

Passo 3

Escolher u e dv para o nosso caso. Para \displaystyle\int x\sin x\,dx a escolha natural é:
u = x,\qquad dv = \sin x\,dx,
porque derivando u obtemos algo mais simples ( du sem x) e dv é fácil de integrar. Agora calculamos du e v:
du = dx, \qquad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 4

Aplicar a fórmula da integração por partes \displaystyle\int u\,dv = u v - \int v\,du. Substituindo os valores:
\int x\sin x\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
A integral restante é imediata:
\int \cos x\,dx = \sin x.
Portanto:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida (boa prática em prova): derivar o resultado para checar se volta à função original. Calculemos \dfrac{d}{dx}\big(-x\cos x + \sin x\big). Usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(-x\cos x\big) = -\big(1\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)\big) = -\cos x + x\sin x,
e
\frac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x.
Somando:
(-\cos x + x\sin x) + \cos x = x\sin x,
que é exatamente f(x). Está conferido!

Passo 6

Erros comuns para evitar na prova:
  • Esquecer o sinal ao integrar \sin x (lembre que \int \sin x\,dx=-\cos x).
  • Esquecer a constante C.
  • Escolher u que complica em vez de simplificar; para produtos com polinômios e funções trigonométricas/exponenciais, geralmente escolha o polinômio como u.
Força aí — você já chegou na resposta e confirmou que está correta!

Resposta

-x\cos x + \sin x + C

Exercícios relacionados