Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
f(x)=x \ln x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (ou seja, calcular a integral indefinida) da função f(x)=x\ln x.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x\ln x.
  • A função envolve \ln x, então o domínio natural de definição é x>0 (vamos trabalhar em x>0).
  • Objetivo: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), isto é \displaystyle F'(x)=x\ln x.

Passo 2

Vamos usar o método de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada símbolo significa:
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida que vamos derivar para obter du.
  • dv é a parte restante que vamos integrar para obter v.
  • du é a derivada de u multiplicada por dx.
  • v é uma primitiva de dv.
A ideia prática é escolher u de modo que du fique mais simples, e escolher dv de modo que seja fácil calcular v.

Passo 3

Escolha de u e dv:
Para \displaystyle \int x\ln x\,dx é conveniente escolher
u=\ln x,\qquad dv = x\,dx.
Justificativa: a derivada de \ln x é simples ( \frac{1}{x}), enquanto integrar x é direto.
Agora calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du:
Substituindo os valores encontrados,
\int x\ln x\,dx = \left(\ln x\right)\left(\frac{x^{2}}{2}\right) - \int \left(\frac{x^{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{x}\,dx\right).
Simplificando o integrando da segunda integral:
\left(\frac{x^{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{2}.
Então
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x}{2}\,dx.
Calcule a integral restante:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.
Portanto
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação rápida por derivação (para ter certeza):
Defina
F(x)=\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}.
Derivando (produto e regra da cadeia):
  • Derivada de \frac{x^{2}}{2}\ln x: a derivada de \frac{x^{2}}{2} é x, então pelo produto obtemos x\ln x + \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}=x\ln x + \frac{x}{2}.
  • Derivada de -\frac{x^{2}}{4} é -\frac{x}{2}.
Somando as partes:
F'(x)=\bigl(x\ln x + \tfrac{x}{2}\bigr) - \tfrac{x}{2} = x\ln x,
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C

Exercícios relacionados