Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (ou seja, calcular a integral indefinida) da função
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - A função envolve
, então o domínio natural de definição é (vamos trabalhar em ). - Objetivo: encontrar uma função
tal que , isto é .
Passo 2
Vamos usar o método de integração por partes. Primeiro, a fórmula e o que cada símbolo significa:
A fórmula de integração por partes é
Aqui:
-
é uma função escolhida que vamos derivar para obter . -
é a parte restante que vamos integrar para obter . -
é a derivada de multiplicada por . -
é uma primitiva de .
A ideia prática é escolher
de modo que
fique mais simples, e escolher
de modo que seja fácil calcular
.
Passo 3
Escolha de
e
:
Para
é conveniente escolher
Justificativa: a derivada de
é simples (
), enquanto integrar
é direto.
Agora calcule
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula
:
Substituindo os valores encontrados,
Simplificando o integrando da segunda integral:
Então
Calcule a integral restante:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Verificação rápida por derivação (para ter certeza):
Defina
Derivando (produto e regra da cadeia):
- Derivada de
: a derivada de é , então pelo produto obtemos . - Derivada de
é .
Somando as partes:
que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.