Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\cos x \sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\cos x\sin x usando o método da substituição.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos x\sin x.
  • Devemos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x).
  • Usar o método da substituição (ou seja, trocar parte da expressão por u de modo que a integral fique mais simples).

Passo 2

Explicando o método da substituição (passo-a-passo): a ideia é identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece multiplicando-a. Então definimos uma nova variável u igual a essa parte, escrevemos du em função de dx e trocamos a integral em x por uma integral em u. Assim a integral geralmente fica mais simples de calcular. Neste processo:
  • u é a nova variável que representa uma expressão em x.
  • du representa a diferencial de u, ou seja du = \dfrac{du}{dx}\,dx.
  • A constante de integração será adicionada ao final como +C.

Passo 3

Escolha mais direta: tomar u=\sin x. Isso porque a derivada de \sin x é \cos x, que aparece multiplicando \sin x na função. Calculemos du:
u=\sin x \quad\Rightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Agora expressamos a integral de f em termos de u:
\int \cos x\sin x\,dx = \int u\,du.
A integral de u em relação a u é direta:
\int u\,du = \frac{u^{2}}{2} + C.
Voltando para a variável x ( u=\sin x):
F(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+C.

Passo 4

Verificação (para você saber que está certo): derivando F(x)=\dfrac{\sin^{2}x}{2}+C usando a regra da cadeia, temos
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cdot\cos x=\sin x\cos x,
que é exatamente f(x). Ótimo — a primitiva está correta.

Passo 5

Mostrando outra forma equivalente por uma segunda substituição (opcional, mas didático): se escolhermos u=\cos x, então du=-\sin x\,dx, logo \sin x\,dx=-du. A integral vira
\int \cos x\sin x\,dx = \int u(-du) = -\int u\,du = -\frac{u^{2}}{2}+C = -\frac{\cos^{2}x}{2}+C.
Essas duas expressões são equivalentes porque diferem apenas por uma constante: usando \sin^{2}x+\cos^{2}x=1,
\frac{\sin^{2}x}{2} = \frac{1-\cos^{2}x}{2} = -\frac{\cos^{2}x}{2} + \frac{1}{2},
portanto a diferença é a constante 1/2, que é absorvida no +C.

Passo 6

Ligando com outra identidade útil (apenas para reforçar): note que \cos x\sin x=\dfrac{1}{2}\sin(2x). Integrando,
\int \cos x\sin x\,dx = \frac{1}{2}\int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(2x)+C,
que também é equivalente às formas anteriores (usar \cos(2x)=1-2\sin^{2}x para ver a equivalência, diferindo só por constante).

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{\sin^{2}x}{2}+C
\displaystyle F(x)=-\frac{\cos^{2}x}{2}+C
\displaystyle F(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)+C

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