Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Devemos encontrar uma função
tal que . - Usar o método da substituição (ou seja, trocar parte da expressão por
de modo que a integral fique mais simples).
Passo 2
Explicando o método da substituição (passo-a-passo): a ideia é identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece multiplicando-a. Então definimos uma nova variável
igual a essa parte, escrevemos
em função de
e trocamos a integral em
por uma integral em
. Assim a integral geralmente fica mais simples de calcular. Neste processo:
-
é a nova variável que representa uma expressão em . -
representa a diferencial de , ou seja . - A constante de integração será adicionada ao final como
.
Passo 3
Escolha mais direta: tomar
. Isso porque a derivada de
é
, que aparece multiplicando
na função. Calculemos
:
Agora expressamos a integral de
em termos de
:
A integral de
em relação a
é direta:
Voltando para a variável
(
):
Passo 4
Verificação (para você saber que está certo): derivando
usando a regra da cadeia, temos
que é exatamente
. Ótimo — a primitiva está correta.
Passo 5
Mostrando outra forma equivalente por uma segunda substituição (opcional, mas didático): se escolhermos
, então
, logo
. A integral vira
Essas duas expressões são equivalentes porque diferem apenas por uma constante: usando
,
portanto a diferença é a constante
, que é absorvida no
.
Passo 6
Ligando com outra identidade útil (apenas para reforçar): note que
. Integrando,
que também é equivalente às formas anteriores (usar
para ver a equivalência, diferindo só por constante).