Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=2 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=2 e^{2x} usando o método da substituição.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2 e^{2x}.
  • Deve-se usar o método da substituição para calcular \displaystyle\int f(x)\,dx.
    O objetivo final é encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x), ou seja, as primitivas de f.

Passo 2

O que é uma primitiva?
Uma primitiva de f é uma função F que satisfaz F'(x)=f(x). Quando integramos indefinidamente escrevemos \displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C, onde C é a constante de integração.
Ideia do método da substituição (explicação didática):
Se a integranda tem a forma de uma função composta g(h(x)) multiplicada por h'(x), isto é, se aparece algo do tipo g(h(x))\cdot h'(x), então podemos fazer a troca u=h(x). Como du = h'(x)\,dx, o integral em x vira um integral em u: \displaystyle\int g(h(x))\,h'(x)\,dx = \int g(u)\,du. Depois integra-se em u e volta-se a escrever em termos de x.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao nosso caso: queremos calcular
\int 2 e^{2x}\,dx.
Escolhemos a substituição \;u=2x\;. Agora calculamos du:
\frac{du}{dx}=2 \quad\Rightarrow\quad du=2\,dx.
Isso significa que o fator 2\,dx que aparece no integrando é exatamente du.

Passo 4

Fazendo a mudança de variável no integral:
\int 2 e^{2x}\,dx = \int e^{u}\,du.
Agora integramos em u. Sabemos que a derivada de e^{u} é e^{u}, logo uma primitiva de e^{u} é e^{u}. Assim
\int e^{u}\,du = e^{u}+C.
Voltando à variável original x (substituindo u=2x):
e^{u}+C = e^{2x}+C.
Portanto uma primitiva de f é F(x)=e^{2x}+C.

Passo 5

Observação geral útil para a prova (fórmula padrão): para um número real a,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C,
desde que a\neq0. No caso específico de \int 2 e^{2x}\,dx, o fator 2 coincide com a e por isso a constante \tfrac{1}{a} cancela, resultando em e^{2x}+C. Um exemplo rápido para fixar: \displaystyle\int e^{3x}\,dx = \tfrac{1}{3}e^{3x}+C.

Resposta

e^{2x}+C

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