Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se usar o método da substituição para calcular
.
O objetivo final é encontrar todas as funçõestais que , ou seja, as primitivas de .
Passo 2
O que é uma primitiva?
Uma primitiva de é uma função
que satisfaz
. Quando integramos indefinidamente escrevemos
, onde
é a constante de integração.
Uma primitiva de
Ideia do método da substituição (explicação didática):
Se a integranda tem a forma de uma função composta multiplicada por
, isto é, se aparece algo do tipo
, então podemos fazer a troca
. Como
, o integral em
vira um integral em
:
. Depois integra-se em
e volta-se a escrever em termos de
.
Se a integranda tem a forma de uma função composta
Passo 3
Aplicando essa ideia ao nosso caso: queremos calcular
Escolhemos a substituição
. Agora calculamos
:
Isso significa que o fator
que aparece no integrando é exatamente
.
Passo 4
Fazendo a mudança de variável no integral:
Agora integramos em
. Sabemos que a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Assim
Voltando à variável original
(substituindo
):
Portanto uma primitiva de
é
.
Passo 5
Observação geral útil para a prova (fórmula padrão): para um número real
,
desde que
. No caso específico de
, o fator
coincide com
e por isso a constante
cancela, resultando em
. Um exemplo rápido para fixar:
.