Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=(x-1)^{32}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=(x-1)^{32}.
  • Informação dada: a função é a potência de x-1 com expoente 32, um número inteiro positivo.
  • Observação útil: trata-se de uma integral indefinida; a resposta deverá conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática e simples):
  • Quando a integral tem a forma de uma composição de funções g(h(x)) multiplicada pela derivada de h, isto é \,g(h(x))\cdot h'(x)\,, é conveniente fazer a troca u=h(x). Isso transforma a integral em \int g(u)\,du, que costuma ser mais simples.
  • Em termos práticos, se definirmos u=h(x) então du=h'(x)\,dx. Então
\int g(h(x))\,h'(x)\,dx = \int g(u)\,du.
  • No nosso caso a integranda é uma potência de uma expressão linear (x-1)^{32}, que é exatamente uma situação típica para usar u=x-1. A derivada de x-1 é 1, o que facilita ainda mais.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du:
  • Tome \,u = x-1\,.
  • Calcule du: como \dfrac{d}{dx}(x-1)=1, tem-se
du = 1\cdot dx \quad\Rightarrow\quad du = dx.

Passo 4

Transformar a integral e aplicar a regra da potência:
  • Substituindo na integral,
\int (x-1)^{32}\,dx = \int u^{32}\,du.
  • Agora usamos a regra da potência para primitivas: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
  • Essa fórmula vem do fato de que \dfrac{d}{du}\!\left(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\right)=u^{n}.

Passo 5

Aplicar a regra com n=32 e voltar para x:
  • Com n=32,
\int u^{32}\,du = \frac{u^{33}}{33}+C.
  • Voltando à variável original x usando u=x-1,
\frac{u^{33}}{33}+C = \frac{(x-1)^{33}}{33}+C.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação para checar):
  • Diferenciando a resposta obtida,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{(x-1)^{33}}{33}+C\right) = \frac{33\,(x-1)^{32}\cdot 1}{33} = (x-1)^{32},
o que confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-1)^{33}}{33}+C

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