Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
. - Informação dada: a função é a potência de
com expoente , um número inteiro positivo. - Observação útil: trata-se de uma integral indefinida; a resposta deverá conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática e simples):
- Quando a integral tem a forma de uma composição de funções
multiplicada pela derivada de , isto é , é conveniente fazer a troca . Isso transforma a integral em , que costuma ser mais simples. - Em termos práticos, se definirmos
então . Então
- No nosso caso a integranda é uma potência de uma expressão linear
, que é exatamente uma situação típica para usar . A derivada de é , o que facilita ainda mais.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
:
- Tome
. - Calcule
: como , tem-se
Passo 4
Transformar a integral e aplicar a regra da potência:
- Substituindo na integral,
- Agora usamos a regra da potência para primitivas: para qualquer
,
- Essa fórmula vem do fato de que
.
Passo 5
Aplicar a regra com
e voltar para
:
- Com
,
- Voltando à variável original
usando ,
Passo 6
Verificação rápida (diferenciação para checar):
- Diferenciando a resposta obtida,
o que confirma que a primitiva está correta.