Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=(2 x-1) e^{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=(2x-1)e^{x^{2}-x} usando o método da substituição. Informação dada:
  • Função dada: f(x)=(2x-1)e^{x^{2}-x}.
  • Objetivo: determinar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=f(x).

Passo 2

Observação inicial (estrutura útil): a expressão e^{x^{2}-x} tem dentro do exponencial uma função composta x^{2}-x. Repare que a outra parte do integrando é exatamente 2x-1, que é a derivada de x^{2}-x. Isto é um sinal clássico de que podemos “reverter” a regra da cadeia usando substituição.
Explicando a ideia da substituição de forma didática: se tivermos uma integral do tipo
\int g'(x)\,h(g(x))\,dx,
podemos tomar u=g(x), então du=g'(x)\,dx e a integral vira
\int h(u)\,du,
que normalmente é mais simples de resolver. Aqui vamos aplicar isso explicitamente.

Passo 3

Escolha da substituição. Seja
u = x^{2}-x.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando u em relação a x,
du = (2x-1)\,dx.
Isso mostra que o fator (2x-1)\,dx no integrando é exatamente du. Não é necessário isolar dx; usamos diretamente du=(2x-1)\,dx.

Passo 4

Fazer a troca na integral original. A integral indefinida que buscamos é
\int (2x-1)e^{x^{2}-x}\,dx.
Com a substituição feita, isso passa a ser
\int e^{u}\,du,
pois substituímos x^{2}-x por u e (2x-1)\,dx por du.

Passo 5

Calcular a integral em u. A primitiva de e^{u} é muito simples porque a derivada de e^{u} é novamente e^{u}. Logo
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltar para a variável x (retro-substituição). Substituindo u = x^{2}-x de volta, obtemos uma primitiva em x:
F(x)=e^{x^{2}-x}+C.

Passo 7

Verificação (checar na hora da prova — sempre bom): derivando F(x) deve voltar f(x). Vamos diferenciar F(x)=e^{x^{2}-x}:
F'(x)=e^{x^{2}-x}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-x)=e^{x^{2}-x}\cdot(2x-1)=(2x-1)e^{x^{2}-x},
que é exatamente f(x). Pronto — a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática e exemplo parecido (para fixar): quando vir \int g'(x)e^{g(x)}\,dx ou \int g'(x)\sin(g(x))\,dx etc., tente u=g(x). Exemplo rápido:
\int 3x^{2}e^{x^{3}}\,dx,
faça u=x^{3}, então du=3x^{2}dx e a integral vira \int e^{u}du=e^{u}+C=e^{x^{3}}+C.

Resposta

e^{x^{2}-x}+C

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