Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição. Informação dada:
- Função dada:
. - Objetivo: determinar uma primitiva
tal que .
Passo 2
Observação inicial (estrutura útil): a expressão
tem dentro do exponencial uma função composta
. Repare que a outra parte do integrando é exatamente
, que é a derivada de
. Isto é um sinal clássico de que podemos “reverter” a regra da cadeia usando substituição.
Explicando a ideia da substituição de forma didática: se tivermos uma integral do tipo
podemos tomar
, então
e a integral vira
que normalmente é mais simples de resolver. Aqui vamos aplicar isso explicitamente.
Passo 3
Escolha da substituição. Seja
Agora calculamos o diferencial
. Derivando
em relação a
,
Isso mostra que o fator
no integrando é exatamente
. Não é necessário isolar
; usamos diretamente
.
Passo 4
Fazer a troca na integral original. A integral indefinida que buscamos é
Com a substituição feita, isso passa a ser
pois substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Calcular a integral em
. A primitiva de
é muito simples porque a derivada de
é novamente
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltar para a variável
(retro-substituição). Substituindo
de volta, obtemos uma primitiva em
:
Passo 7
Verificação (checar na hora da prova — sempre bom): derivando
deve voltar
. Vamos diferenciar
:
que é exatamente
. Pronto — a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática e exemplo parecido (para fixar): quando vir
ou
etc., tente
. Exemplo rápido:
faça
, então
e a integral vira
.