Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição. Informações fornecidas:
- A função é
. - Deve-se aplicar substituição para calcular
. - Lembrar que a raiz quadrada exige
, isto é, ; porém a primitiva será válida em qualquer intervalo onde mantenha sinal constante (por exemplo para ).
Passo 2
Por que usar substituição aqui? A expressão dentro da raiz é uma função linear
. A substituição transforma essa parte interna numa nova variável mais simples, de modo que a integral vire uma potência simples de
. Vamos definir a substituição e explicar as letras:
- Seja
a expressão interna: . Aqui é uma nova variável que representa o argumento da raiz. - Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos . Isso relaciona um pequeno aumento em com um pequeno aumento em .
Passo 3
Isolar
em função de
. Isso permite trocar a variável de integração:
Agora substituímos
e
na integral original. Também reescrevemos a raiz como potência:
.
Passo 4
Fazer a substituição na integral:
Retirando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Aplicar a regra de potência para primitiva. Regra: se
, então
. Aqui
, então
. Assim:
Multiplicando pela constante
que estava fora:
Aqui
é a constante de integração (um número arbitrário).
Passo 6
Voltar à variável original
substituindo
:
Breve comentário: a primitiva encontrada é válida em intervalos onde
não muda de sinal (por exemplo
), porque usamos a raiz real.
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação) para garantir que não cometemos erro. Diferenciando
usando a regra da cadeia:
. Simplificando:
que é exatamente
. Então a primitiva está correta.