Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\sqrt{7 x-1}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=\sqrt{7x-1} usando o método da substituição. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\sqrt{7x-1}=(7x-1)^{1/2}.
  • Deve-se aplicar substituição para calcular \displaystyle\int f(x)\,dx.
  • Lembrar que a raiz quadrada exige 7x-1\ge0, isto é, x\ge\dfrac{1}{7}; porém a primitiva será válida em qualquer intervalo onde 7x-1 mantenha sinal constante (por exemplo para x\ge\dfrac{1}{7}).

Passo 2

Por que usar substituição aqui? A expressão dentro da raiz é uma função linear 7x-1. A substituição transforma essa parte interna numa nova variável mais simples, de modo que a integral vire uma potência simples de u. Vamos definir a substituição e explicar as letras:
  • Seja u a expressão interna: u=7x-1. Aqui u é uma nova variável que representa o argumento da raiz.
  • Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos du = 7\,dx. Isso relaciona um pequeno aumento em u com um pequeno aumento em x.

Passo 3

Isolar dx em função de du. Isso permite trocar a variável de integração:
du = 7\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{7}.
Agora substituímos u e dx na integral original. Também reescrevemos a raiz como potência: \sqrt{7x-1}=(7x-1)^{1/2}=u^{1/2}.

Passo 4

Fazer a substituição na integral:
\int \sqrt{7x-1}\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{du}{7}.
Retirando a constante \dfrac{1}{7} para fora da integral:
\int \sqrt{7x-1}\,dx = \frac{1}{7}\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Aplicar a regra de potência para primitiva. Regra: se n\neq-1, então \displaystyle\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C. Aqui n=\dfrac{1}{2}, então n+1=\dfrac{3}{2}. Assim:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{7} que estava fora:
\frac{1}{7}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{7}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{21}u^{3/2}+C.
Aqui C é a constante de integração (um número arbitrário).

Passo 6

Voltar à variável original x substituindo u=7x-1:
\int \sqrt{7x-1}\,dx = \frac{2}{21}(7x-1)^{3/2}+C.
Breve comentário: a primitiva encontrada é válida em intervalos onde 7x-1 não muda de sinal (por exemplo x\ge\dfrac{1}{7}), porque usamos a raiz real.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação) para garantir que não cometemos erro. Diferenciando
F(x)=\frac{2}{21}(7x-1)^{3/2}
usando a regra da cadeia: F'(x)=\dfrac{2}{21}\cdot\dfrac{3}{2}(7x-1)^{1/2}\cdot 7. Simplificando:
F'(x)=\frac{2}{21}\cdot\frac{3}{2}\cdot 7\,(7x-1)^{1/2}=(7x-1)^{1/2},
que é exatamente f(x). Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{2}{21}\,(7x-1)^{3/2}+C

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