Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição. Informação dada: a função é
. Objetivo concreto: calcular uma função
tal que
, escrevendo o resultado com a constante de integração.
Passo 2
Ideia do método de substituição (explicação didática e intuitiva). A substituição serve para simplificar uma integral quando dentro dela aparece uma composição de funções cujo “núcleo” tem derivada multiplicando. Aqui vemos
(uma função composta) multiplicada por
. Se conseguirmos identificar uma expressão
tal que
seja proporcional a
, podemos transformar a integral em uma integral em
mais simples. É exatamente isso que faremos. Lembre que:
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
. Vou escolher
Agora calculo
:
Isolo
porque ele aparece na integral:
Observação: também poderíamos escolher
; isso dá
e funciona igualmente. Vou prosseguir com
porque deixa a conta bem direta.
Passo 4
Reescrevendo a integral em
. A primitiva que procuramos é
Substituindo
e
, temos
Passo 5
Integrando
(fórmula e explicação). A integral de
em relação a
é
pois derivando
obtém-se
por regra da cadeia. Aqui
. Então:
Passo 6
Volto para a variável
(substituição inversa). Lembrando que
, obtenho a primitiva em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação por diferenciação (checagem rápida para ficar seguro). Derivo
para confirmar que
. Usando a regra da cadeia:
Como
, segue
que é exatamente
. Portanto a primitiva está correta.
Passo 8
Comentário final e alternativa rápida: se tivesse escolhido
desde o começo, obteria
e
, levando a
, mesma resposta.