Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=x \sin 2 x^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função f(x)=x\sin(2x^{2}) usando o método da substituição. Informação dada: a função é f(x)=x\sin(2x^{2}). Objetivo concreto: calcular uma função F(x) tal que F'(x)=x\sin(2x^{2}), escrevendo o resultado com a constante de integração.

Passo 2

Ideia do método de substituição (explicação didática e intuitiva). A substituição serve para simplificar uma integral quando dentro dela aparece uma composição de funções cujo “núcleo” tem derivada multiplicando. Aqui vemos \sin(2x^{2}) (uma função composta) multiplicada por x. Se conseguirmos identificar uma expressão u=g(x) tal que du seja proporcional a x\,dx, podemos transformar a integral em uma integral em u mais simples. É exatamente isso que faremos. Lembre que:
\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)=g'(x)\quad\text{e}\quad du=g'(x)\,dx.

Passo 3

Escolha da substituição e cálculo de du. Vou escolher
u = x^{2}.
Agora calculo du:
du = \frac{d}{dx}(x^{2})\,dx = 2x\,dx.
Isolo x\,dx porque ele aparece na integral:
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Observação: também poderíamos escolher u=2x^{2}; isso dá du=4x\,dx e funciona igualmente. Vou prosseguir com u=x^{2} porque deixa a conta bem direta.

Passo 4

Reescrevendo a integral em u. A primitiva que procuramos é
\int x\sin(2x^{2})\,dx.
Substituindo u=x^{2} e x\,dx=\dfrac{1}{2}du, temos
\int x\sin(2x^{2})\,dx = \int \sin\big(2u\big)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \sin\big(2u\big)\,du.

Passo 5

Integrando \sin(2u) (fórmula e explicação). A integral de \sin(au) em relação a u é
\int \sin(au)\,du = -\frac{1}{a}\cos(au)+C,
pois derivando -\frac{1}{a}\cos(au) obtém-se \sin(au) por regra da cadeia. Aqui a=2. Então:
\frac{1}{2}\int \sin(2u)\,du = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos(2u)\right)+C = -\frac{1}{4}\cos(2u)+C.

Passo 6

Volto para a variável x (substituição inversa). Lembrando que u=x^{2}, obtenho a primitiva em x:
F(x) = -\frac{1}{4}\cos\big(2x^{2}\big) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação por diferenciação (checagem rápida para ficar seguro). Derivo F(x) para confirmar que F'(x)=x\sin(2x^{2}). Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{4}\cos(2x^{2})\right) = -\frac{1}{4}\cdot\big(-\sin(2x^{2})\big)\cdot\frac{d}{dx}(2x^{2}).
Como \dfrac{d}{dx}(2x^{2})=4x, segue
F'(x)= -\frac{1}{4}\cdot(-\sin(2x^{2}))\cdot 4x = x\sin(2x^{2}),
que é exatamente f(x). Portanto a primitiva está correta.

Passo 8

Comentário final e alternativa rápida: se tivesse escolhido v=2x^{2} desde o começo, obteria dv=4x\,dx e x\,dx=dv/4, levando a \int x\sin(2x^{2})\,dx = \tfrac{1}{4}\int \sin v\,dv = -\tfrac{1}{4}\cos v +C = -\tfrac{1}{4}\cos(2x^{2})+C, mesma resposta.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos\big(2x^{2}\big)+C

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