Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável é
. - A função envolve
, portanto o domínio natural onde a função está definida é (ou com cuidado em ). - O objetivo é encontrar todas as funções
tais que , usando o método da substituição.
Passo 2
Por que usar substituição aqui? Dica prática: quando aparece
dentro de uma potência composta
e simultaneamente aparecem potências de
(aqui
no denominador), costuma funcionar bem introduzir a variável
. Isso transforma raízes e potências de
em potências simples de
, e muitas vezes elimina fatores desagradáveis.
Vamos aplicar a substituição
Explique o que cada símbolo significa:
-
é a nova variável que representa . - Como
, derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
Passo 3
Reescrevendo a integral usando
. A primitiva procurada é
Com a substituição
temos
e
. Substituindo:
No integrando o
do denominador cancela com o
do
, sobrando:
Passo 4
Agora integrar uma potência simples. Lembrete da fórmula básica (que é a “regra da potência” para primitivas):
- Para
, vale
onde
é a variável de integração e
é a constante de integração.
Aqui
e
. Como
, aplicamos a fórmula diretamente:
Calcule o expoente e o denominador:
Portanto
Passo 5
Voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar
para checar que aparece
.
Derivando :
Derivando
Aqui
. Então
Confere certinho.