Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{(1+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
f(x)=\frac{(1+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável é x.
  • A função envolve \sqrt{x}, portanto o domínio natural onde a função está definida é x>0 (ou x\ge 0 com cuidado em x=0).
  • O objetivo é encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x), usando o método da substituição.

Passo 2

Por que usar substituição aqui? Dica prática: quando aparece \sqrt{x} dentro de uma potência composta (1+\sqrt{x})^{\alpha} e simultaneamente aparecem potências de x (aqui \sqrt{x} no denominador), costuma funcionar bem introduzir a variável t=\sqrt{x}. Isso transforma raízes e potências de x em potências simples de t, e muitas vezes elimina fatores desagradáveis.
Vamos aplicar a substituição
t=\sqrt{x}.
Explique o que cada símbolo significa:
  • t é a nova variável que representa \sqrt{x}.
  • Como x=t^2, derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
dx = 2t\,dt.

Passo 3

Reescrevendo a integral usando t. A primitiva procurada é
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}\,dx.
Com a substituição t=\sqrt{x} temos \sqrt{x}=t e dx=2t\,dt. Substituindo:
\int \frac{(1+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{(1+t)^{\frac{1}{3}}}{t}\cdot (2t\,dt).
No integrando o t do denominador cancela com o t do dx, sobrando:
\int \frac{(1+t)^{\frac{1}{3}}}{t}\cdot (2t)\,dt = 2\int (1+t)^{\frac{1}{3}}\,dt.

Passo 4

Agora integrar uma potência simples. Lembrete da fórmula básica (que é a “regra da potência” para primitivas):
  • Para n\neq -1, vale
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde u é a variável de integração e C é a constante de integração.
Aqui u=1+t e n=\tfrac{1}{3}. Como du=dt, aplicamos a fórmula diretamente:
2\int (1+t)^{\frac{1}{3}}\,dt = 2\cdot\frac{(1+t)^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C.
Calcule o expoente e o denominador:
\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}, \qquad \frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}.
Portanto
2\cdot\frac{(1+t)^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+C =2\cdot\frac{3}{4}(1+t)^{\frac{4}{3}}+C =\frac{3}{2}(1+t)^{\frac{4}{3}}+C.

Passo 5

Voltar para a variável original x. Lembrando que t=\sqrt{x}, substituímos de volta:
F(x)=\frac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{\frac{4}{3}}+C,
onde C é a constante arbitrária de integração.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivar F(x) para checar que aparece f(x).
Derivando F:
F'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr).
Aqui \dfrac{d}{dx}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Então
F'(x)=2\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{(1+\sqrt{x})^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}=f(x).
Confere certinho.

Resposta

F(x)=\frac{3}{2}\bigl(1+\sqrt{x}\bigr)^{\frac{4}{3}}+C

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