Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
usando o método da substituição.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - A função está definida para
, mas tem singularidade em (pois ), portanto o domínio natural para a primitiva é ou — as primitivas serão válidas separadamente em cada intervalo onde não se anula.
Passo 2
Intuição para a substituição (explicação didática): quando a integral envolve
e aparece um fator
multiplicando, é clássico escolher a substituição
, porque a derivada de
é justamente
. A ideia do método da substituição é transformar a integral em uma em que a variável seja
, aproveitando que
aparece na integral.
Faço a substituição sugerida:
Calculo
:
Isso significa que o pedaço
que aparece na integral pode ser trocado por
.
Passo 3
Reescrevo a integral original usando a substituição. A integral que queremos é
Agrupando
e
obtemos
Agora substituo
e
, então a integral passa a ser
Passo 4
Integro
usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
e
Volto à variável
substituindo
:
Passo 5
Verificação por diferenciação (para ter certeza, e aprender a checar na prova): diferencio
. Usando a regra da cadeia e a regra da potência,
Isso confirma que
é uma primitiva correta em cada intervalo onde
.
Passo 6
Comentário final e dica para a prova: sempre que vir integrandas do tipo
com
aparecendo multiplicando, pense em
. Dois exemplos rápidos para fixar:
-
(substituição leva a ). -
(mesma ideia aplicada de forma genérica).
Força aí — faz a substituição, checa com a derivada e fica mais tranquilo na prova!