Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}} usando o método da substituição.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}}.
  • A função está definida para x>0, mas tem singularidade em x=1 (pois \ln 1=0), portanto o domínio natural para a primitiva é (0,1) ou (1,\infty) — as primitivas serão válidas separadamente em cada intervalo onde \ln x não se anula.

Passo 2

Intuição para a substituição (explicação didática): quando a integral envolve \ln x e aparece um fator 1/x multiplicando, é clássico escolher a substituição \,u=\ln x, porque a derivada de \ln x é justamente 1/x. A ideia do método da substituição é transformar a integral em uma em que a variável seja u, aproveitando que \mathrm{d}u aparece na integral.
Faço a substituição sugerida:
u=\ln x.
Calculo \mathrm{d}u:
\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Isso significa que o pedaço \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x que aparece na integral pode ser trocado por \mathrm{d}u.

Passo 3

Reescrevo a integral original usando a substituição. A integral que queremos é
\int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,\mathrm{d}x.
Agrupando \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x e (\ln x)^{-2} obtemos
\int (\ln x)^{-2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x.
Agora substituo u=\ln x e \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x, então a integral passa a ser
\int u^{-2}\,\mathrm{d}u.

Passo 4

Integro \displaystyle \int u^{-2}\,\mathrm{d}u usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2, então n+1=-1 e
\int u^{-2}\,\mathrm{d}u=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-u^{-1}+C=-\frac{1}{u}+C.
Volto à variável x substituindo u=\ln x:
\int \frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{\ln x}+C.

Passo 5

Verificação por diferenciação (para ter certeza, e aprender a checar na prova): diferencio \displaystyle F(x)=-\frac{1}{\ln x}. Usando a regra da cadeia e a regra da potência,
F'(x) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((\ln x)^{-1}\bigr) = -\bigl(-1\bigr)(\ln x)^{-2}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln x) = (\ln x)^{-2}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x(\ln x)^{2}}.
Isso confirma que F(x)=-\dfrac{1}{\ln x}+C é uma primitiva correta em cada intervalo onde \ln x\neq 0.

Passo 6

Comentário final e dica para a prova: sempre que vir integrandas do tipo \dfrac{g'(x)}{g(x)^n} com g'(x) aparecendo multiplicando, pense em u=g(x). Dois exemplos rápidos para fixar:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x=\ln|\ln x|+C (substituição u=\ln x leva a \int u^{-1}\mathrm{d}u).
  • \displaystyle \int \frac{g'(x)}{g(x)^{2}}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{g(x)}+C (mesma ideia aplicada de forma genérica).
Força aí — faz a substituição, checa com a derivada e fica mais tranquilo na prova!

Resposta

-\dfrac{1}{\ln x}+C

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