Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
Informações dadas e observações úteis:
- A função é dada explicitamente por
acima. - O denominador
nunca é zero para (pois ), então não há restrição de domínio real. - O que se quer é uma família de funções
tais que .
Passo 2
Ideia do método da substituição (explicação didática): quando uma integral contém uma função composta e sua derivada “está presente” multiplicando, é eficiente fazer uma substituição para simplificar. Em termos gerais, se aparece
, então com
temos
e a integral vira
. Isso é só a reversão da regra da cadeia da diferenciação. Exemplo rápido e simples para fixar: para
, escolher
dá
e a integral vira
.
Passo 3
Aplicando a substituição à nossa integral. Escrevemos a primitiva procurada como
Escolhemos a substituição natural (porque
aparece no denominador e sua derivada aparece no numerador):
Agora calculamos
:
Ou seja, o pedaço
que está na integral é exatamente
. Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Calcular a integral em
. Usamos a regra da potência para primitivas: para
,
Aqui
, logo
Passo 5
Voltar à variável
(desfazer a substituição). Como
,
Portanto uma primitiva da função dada é
, com
constante arbitrária.
Passo 6
Verificação rápida (para você confiar no resultado): derivando
pelo uso da regra da cadeia,
que coincide com
. Está tudo certo.