Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{4 x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as primitivas (antiderivadas) da função
f(x)=\frac{4x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função é dada explicitamente por f(x) acima.
  • O denominador \left(x^{4}+1\right)^{2} nunca é zero para x\in\mathbb{R} (pois x^{4}+1>0), então não há restrição de domínio real.
  • O que se quer é uma família de funções F(x) tais que F'(x)=f(x).

Passo 2

Ideia do método da substituição (explicação didática): quando uma integral contém uma função composta e sua derivada “está presente” multiplicando, é eficiente fazer uma substituição para simplificar. Em termos gerais, se aparece \int g(h(x))\cdot h'(x)\,dx, então com u=h(x) temos du=h'(x)\,dx e a integral vira \int g(u)\,du. Isso é só a reversão da regra da cadeia da diferenciação. Exemplo rápido e simples para fixar: para \int 2x e^{x^{2}}\,dx, escolher u=x^{2} du=2x\,dx e a integral vira \int e^{u}\,du=e^{u}+C=e^{x^{2}}+C.

Passo 3

Aplicando a substituição à nossa integral. Escrevemos a primitiva procurada como
\int \frac{4x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}\,dx.
Escolhemos a substituição natural (porque \,x^{4}+1\, aparece no denominador e sua derivada aparece no numerador):
u = x^{4}+1.
Agora calculamos du:
du = 4x^{3}\,dx.
Ou seja, o pedaço 4x^{3}\,dx que está na integral é exatamente du. Substituindo na integral obtemos
\int \frac{4x^{3}}{\left(x^{4}+1\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Calcular a integral em u. Usamos a regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C .
Aqui n=-2, logo
\int \frac{1}{u^{2}}\,du = \int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1}+C = -u^{-1}+C.

Passo 5

Voltar à variável x (desfazer a substituição). Como u=x^{4}+1,
-u^{-1}+C = -\frac{1}{u}+C = -\frac{1}{x^{4}+1}+C.
Portanto uma primitiva da função dada é -\dfrac{1}{x^{4}+1}+C, com C constante arbitrária.

Passo 6

Verificação rápida (para você confiar no resultado): derivando F(x)=-\dfrac{1}{x^{4}+1} pelo uso da regra da cadeia,
F'(x) = -\bigl(-1\bigr)\,(x^{4}+1)^{-2}\cdot 4x^{3} = \frac{4x^{3}}{(x^{4}+1)^{2}},
que coincide com f(x). Está tudo certo.

Resposta

-\dfrac{1}{x^{4}+1}+C

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