Encontre as primitivas das seguintes funções pelo método da substituição.
f(x)=\frac{2 x-1}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas (antiderivadas) de f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-x} usando o método da substituição. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x)=\dfrac{2x-1}{x^{2}-x}.
  • Queremos calcular a integral indefinida
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x}\,dx.
  • O denominador pode ser fatorado como x^{2}-x = x(x-1) (isso é apenas uma observação sobre a expressão; a resolução começará no próximo passo).

Passo 2

Motivação para a substituição: no método da substituição procuramos uma parte da função cuja derivada apareça multiplicando-a. Observe que a derivada de x^{2}-x é exatamente 2x-1, que é o numerador da fração. Então definimos a substituição
u = x^{2}-x.
Agora calculemos o diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{du}{dx} = 2x-1 \quad\Rightarrow\quad du = (2x-1)\,dx.
Isso mostra que o pedaço (2x-1)\,dx que aparece na integral pode ser substituído diretamente por du.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Usando u = x^{2}-x e du=(2x-1)\,dx, a integral fica
\int \frac{2x-1}{x^{2}-x}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
Agora lembrar a primitiva padrão: a primitiva de 1/u (para u\neq 0) é o logaritmo natural do valor absoluto de u. Ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
onde C é constante de integração. Isso vem do fato de que \dfrac{d}{du}\ln|u| = \dfrac{1}{u}.

Passo 4

Voltar para a variável original x substituindo u = x^{2}-x. Assim a família das primitivas é
\ln|x^{2}-x| + C.
Uma forma alternativa, usando a fatoração x^{2}-x = x(x-1), é escrever
\ln|x^{2}-x| + C = \ln\bigl|x(x-1)\bigr| + C = \ln|x| + \ln|x-1| + C,
que é a mesma primitiva escrita de outra maneira (a igualdade entre os logs vale quando os argumentos são não nulos; a constante C absorve possíveis diferenças constantes).

Passo 5

Verificação rápida (checagem que é sempre boa na prova): derivando \ln|x^{2}-x| obtemos, usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln|x^{2}-x| = \frac{1}{x^{2}-x}\cdot(2x-1) = \frac{2x-1}{x^{2}-x},
que é exatamente f(x). Logo a primitiva está correta.

Resposta

\ln|x^{2}-x| + C
\ln|x| + \ln|x-1| + C

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