Encontre o produto escalar e o ângulo entre os seguintes vetores:
V=(-3,2) e W=(1,-2)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os vetores
V = (-3,2)
e
W = (1,-2)
e queremos calcular o produto escalar V \cdot W e o ângulo \theta entre eles. O que vamos usar: a definição de produto escalar em \mathbb{R}^2 e a fórmula que relaciona esse produto com o cosseno do ângulo entre vetores.

Passo 2

O produto escalar em \mathbb{R}^2 é definido por
V \cdot W = v_1 w_1 + v_2 w_2.
Substituindo V=(-3,2) e W=(1,-2),
V \cdot W = (-3)\cdot 1 + 2 \cdot (-2) = -3 - 4 = -7.

Passo 3

Para achar o ângulo, precisamos das normas (comprimentos) dos vetores:
\|V\| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13},
\|W\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.

Passo 4

A relação entre produto escalar e ângulo é
\cos(\theta) = \frac{V \cdot W}{\|V\|\,\|W\|}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{-7}{\sqrt{13}\,\sqrt{5}}\Bigr) = \operatorname{arccos}\Bigl(\frac{-7}{\sqrt{65}}\Bigr).
Em valor aproximado (em graus):
\theta \approx 149,0^\circ.

Resposta

Produto escalar: -7
Ângulo: \displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-7/\sqrt{65}\bigr)\approx 149,0^\circ

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