Questão 1 (8 pontos). Determine os valores rlos parametros a e b para os quais o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+z=0 \\\ x+3 y+z=-8 \\\\ 3 x+5 y+\left(a^{4}-1\right) z=b^{2}-1 \end{array}\right.
a) ( \mathbf{2} pontos) não possui soluçāo;
b) ( 3 pontos) possui infinitas soluçōes e encontre todas elas;
c) (3 pontos) possui uma solução única e determine a soluçāo em função de a, b.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x+2y+z=0,\\\ x+3y+z=-8,\\\\ 3x+5y+(a^{4}-1)z=b^{2}-1, \end{cases}
queremos estudar para quais valores de a,b ele é impossível, indeterminado ou tem solução única. Vamos usar eliminação de Gauss para analisar a existência e quantidade de soluções, comparando o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Aplicamos R_2\leftarrow R_2-R_1. Isso elimina x em R_2:
R_1: \;x+2y+z=0,\quad R_2: \;0\;+\;y\;+\;0\;=\;-8.
Logo
y=-8.

Passo 3

Agora fazemos R_3\leftarrow R_3-3R_1 para eliminar x em R_3. Em R_3 obtemos
0\cdot x \;-\!1\cdot y\;+\;(a^{4}-4)z \;=\;b^{2}-1\;-\;3\cdot0,
isto é
-\,y+(a^{4}-4)z=b^{2}-1.

Passo 4

Substituímos y=-8 nessa última equação:
-(-8)+(a^{4}-4)z=b^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad 8+(a^{4}-4)z=b^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad (a^{4}-4)z=b^{2}-9.

Passo 5

Analisamos agora dois casos conforme o fator (a^{4}-4):
Caso 1: a^{4}\neq4.
Então (a^{4}-4)\ne0 e podemos isolar
z=\frac{b^{2}-9}{a^{4}-4}.
Como já temos y=-8, da primeira equação
x+2(-8)+z=0 \quad\Longrightarrow\quad x=16-z=16-\frac{b^{2}-9}{a^{4}-4}.
Nesse caso o sistema tem exatamente uma solução.

Passo 6

Caso 2: a^{4}=4.
Então a=\pm\sqrt{2} e a equação para z vira
0\cdot z=b^{2}-9 \quad\Longrightarrow\quad 0=b^{2}-9.
Se b^{2}\neq9 (ou seja |b|\neq3), essa equação é impossível e o sistema não possui solução.

Passo 7

Ainda em a^{4}=4, se b^{2}=9 (ou seja b=\pm3), a terceira equação fica redundante (vira 8=8). Temos então duas equações independentes para três incógnitas, gerando infinitas soluções. Usamos parâmetro t para z:
y=-8,\quad z=t,\quad x+2(-8)+t=0\;\Longrightarrow\;x=16-t.

Resposta

a) O sistema não possui solução se
a^{4}=4\quad(\text{i.e. }a=\pm\sqrt{2}) \quad\text{e}\quad b^{2}\neq9\quad(\text{i.e. }|b|\neq3).
b) O sistema possui infinitas soluções se
a^{4}=4\quad(a=\pm\sqrt{2}) \quad\text{e}\quad b^{2}=9\quad(b=\pm3),
e então, tomando z=t\in\mathbb{R},
(x,y,z)=(16-t,\,-8,\,t).
c) O sistema possui solução única se a^{4}\neq4, e nesse caso
y=-8,\quad z=\frac{b^{2}-9}{a^{4}-4},\quad x=16-\frac{b^{2}-9}{a^{4}-4}.

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