Encontre o volume do paralelepípedo delimitado pelos vetores
\vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,0,-1) e \vec{w}=(0,5,2)

Passo 1

O enunciado pede o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores \vec{u}=(1,2,3), \vec{v}=(4,0,-1) e \vec{w}=(0,5,2). Para calcular esse volume, a gente usa o valor absoluto do produto escalar triplo, ou seja
V = \bigl|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\bigr|.

Passo 2

Primeiro, calculamos o produto vetorial \vec{v}\times\vec{w}. Pela fórmula
\vec{v}\times\vec{w} = (v_2w_3 - v_3w_2,\;v_3w_1 - v_1w_3,\;v_1w_2 - v_2w_1),
onde \vec{v}=(4,0,-1) e \vec{w}=(0,5,2). Assim:
v_2w_3 - v_3w_2 = 0\cdot2 - (-1)\cdot5 = 5,
v_3w_1 - v_1w_3 = (-1)\cdot0 - 4\cdot2 = -8,
v_1w_2 - v_2w_1 = 4\cdot5 - 0\cdot0 = 20.
Logo
\vec{v}\times\vec{w} = (5,\,-8,\;20).

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar de \vec{u}=(1,2,3) com \vec{v}\times\vec{w}=(5,-8,20):
\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) =1\cdot5 + 2\cdot(-8) + 3\cdot20 =5 -16 +60 =49.

Passo 4

O volume é o valor absoluto desse resultado:
V = |49| = 49.

Resposta

49

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