Usando indução, prove que
é divisível por 3 , para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que a expressão
é divisível por 3 para todo número natural
. Isso significa que, quando subtraímos
de
ao cubo, o resultado sempre será múltiplo de 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como verificar a divisibilidade por 3.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, que é
. Substituindo na expressão:
E 0 é divisível por 3, pois
. Então, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos assumir que:
Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos usar essa suposição para provar que a afirmação também vale para
.
Passo 4
Vamos calcular a expressão para
:
Primeiro, vamos expandir
:
Substituindo de volta na expressão:
Podemos fatorar 3 de alguns termos:
Rearranjando:
Passo 5
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que
é divisível por 3. Além disso,
claramente é divisível por 3 porque está multiplicado por 3. Então, a soma de dois números divisíveis por 3 também é divisível por 3. Portanto,
é divisível por 3.
Resposta
Assim, por indução matemática, provamos que
é divisível por 3 para todo
.