Usando indução, prove que n^3-n é divisível por 3 , para todo n in N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando indução matemática, que a expressão n^3 - n é divisível por 3 para todo número natural n . Isso significa que, quando subtraímos n de n ao cubo, o resultado sempre será múltiplo de 3. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como verificar a divisibilidade por 3.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural, que é n = 1 . Substituindo na expressão:
1^3 - 1 = 1 - 1 = 0
E 0 é divisível por 3, pois 0 div 3 = 0 . Então, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural k . Ou seja, vamos assumir que:
k^3 - k é divisível por 3 éí
Isso é a nossa hipótese de indução. Queremos usar essa suposição para provar que a afirmação também vale para k + 1 .

Passo 4

Vamos calcular a expressão para k + 1 :
(k + 1)^3 - (k + 1)
Primeiro, vamos expandir (k + 1)^3 :
(k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
Substituindo de volta na expressão:
k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = k^3 + 3k^2 + 2k
Podemos fatorar 3 de alguns termos:
k^3 - k + 3k^2 + 3k
Rearranjando:
(k^3 - k) + 3(k^2 + k)

Passo 5

Pela nossa hipótese de indução, sabemos que k^3 - k é divisível por 3. Além disso, 3(k^2 + k) claramente é divisível por 3 porque está multiplicado por 3. Então, a soma de dois números divisíveis por 3 também é divisível por 3. Portanto, (k + 1)^3 - (k + 1) é divisível por 3.

Resposta

Assim, por indução matemática, provamos que n^3 - n é divisível por 3 para todo n in N .

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