Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\mathbf{i}+2 \mathbf{j}-\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=3 \mathbf{i}-\mathbf{j}+7 \mathbf{k}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
Informações dadas (peguei direto do enunciado):
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+7\mathbf{k}

Passo 2

Como vou calcular: usar a fórmula padrão do produto vetorial em \mathbb{R}^3 usando determinante (é o método mais direto na prova).
Lembrete da fórmula (explicando cada símbolo):
  • Se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3), então o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} tem componentes
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Aqui:
  • a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} respectivamente;
  • b_1,b_2,b_3 são as componentes de \mathbf{b} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} respectivamente.
    Essa fórmula vem do determinante
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
mas para a prova é prático memorizar a expressão de componentes acima.

Passo 3

Extração das componentes a partir dos vetores dados (peguei esses números do enunciado):
  • Para \mathbf{a}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}-\mathbf{k}: \;a_1=1,\;a_2=2,\;a_3=-1.
  • Para \mathbf{b}=3\mathbf{i}-\mathbf{j}+7\mathbf{k}: \;b_1=3,\;b_2=-1,\;b_3=7.

Passo 4

Cálculo da primeira componente (componente na direção \mathbf{i}):
a_2 b_3 - a_3 b_2 = 2\cdot 7 - (-1)\cdot(-1).
Calcule passo a passo:
2\cdot 7 = 14,\qquad (-1)\cdot(-1)=1,
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a_2 b_3 - a_3 b_2 = 14 - 1 = 13.

Passo 5

Cálculo da segunda componente (componente na direção \mathbf{j}):
a_3 b_1 - a_1 b_3 = (-1)\cdot 3 - 1\cdot 7.
Calcule passo a passo:
(-1)\cdot 3 = -3,\qquad 1\cdot 7 = 7,
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a_3 b_1 - a_1 b_3 = -3 - 7 = -10.

Passo 6

Cálculo da terceira componente (componente na direção \mathbf{k}):
a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot 3.
Calcule passo a passo:
1\cdot(-1) = -1,\qquad 2\cdot 3 = 6,
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a_1 b_2 - a_2 b_1 = -1 - 6 = -7.

Passo 7

Verificação rápida (isso é útil na prova para checar erros): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}. Faço os produtos escalares com as componentes encontradas ( 13,\,-10,\,-7):
Calcule \mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
1\cdot 13 + 2\cdot(-10) + (-1)\cdot(-7) = 13 -20 +7 = 0.
Calcule \mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}):
3\cdot 13 + (-1)\cdot(-10) + 7\cdot(-7) = 39 +10 -49 = 0.
Como ambos deram zero, a resposta está consistente (vetor perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}).

Resposta

13\mathbf{i}-10\mathbf{j}-7\mathbf{k}

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