Encontre o produto vetorial \mathbf{a} \times \mathbf{b}.
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}.
As informações fornecidas são:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}.
  • \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}.
As perguntas implícitas: calcular o vetor resultante \mathbf{a}\times\mathbf{b} explicitando suas componentes.

Passo 2

O que é o produto vetorial e como calculamos na prática (aula rápida e direta).
  • O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 é um vetor perpendicular a ambos. Seu módulo é |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. A direção é dada pela regra da mão direita.
  • Para calcular componentes, usa-se a representação por determinante:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_1 & a_2 & a_3 \\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix},
que, ao expandir, produz as componentes
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_x = a_2 b_3 - a_3 b_2,
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_y = a_3 b_1 - a_1 b_3,
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_z = a_1 b_2 - a_2 b_1.
Aqui a_1,a_2,a_3 são as componentes de \mathbf{a} nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}, respectivamente; idem para b_1,b_2,b_3.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados (peguei estes números do enunciado):
  • Para \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}: a_1=1,\;a_2=1,\;a_3=1.
  • Para \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-\mathbf{k}: b_1=1,\;b_2=1,\;b_3=-1.
Agora aplico as fórmulas das componentes uma por uma, mostrando a conta passo a passo.
Cálculo da componente na direção \mathbf{i}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_x = a_2 b_3 - a_3 b_2 = 1\cdot(-1) - 1\cdot 1 = -1 - 1 = -2.
Cálculo da componente na direção \mathbf{j}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_y = a_3 b_1 - a_1 b_3 = 1\cdot 1 - 1\cdot(-1) = 1 - (-1) = 2.
Cálculo da componente na direção \mathbf{k}:
(\mathbf{a}\times\mathbf{b})_z = a_1 b_2 - a_2 b_1 = 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1 - 1 = 0.

Passo 4

Montando o vetor resultado com as componentes calculadas:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = -2\mathbf{i} + 2\mathbf{j}.
Vou fazer uma checagem rápida (útil na prova): o produto vetorial deve ser perpendicular a ambos, então o produto escalar com \mathbf{a} e com \mathbf{b} deve ser zero.
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 1\cdot(-2) + 1\cdot 2 + 1\cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0,
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) = 1\cdot(-2) + 1\cdot 2 + (-1)\cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0.
Está consistente: o vetor encontrado é perpendicular a ambos.

Passo 5

Forma alternativa e magnitude (dica para a prova):
  • Pode-se escrever em fator comum: \mathbf{a}\times\mathbf{b} = 2(-\mathbf{i}+\mathbf{j}).
  • A magnitude vale
|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Força aí, você já tem o passo a passo completaço para reproduzir isso na prova sem medo!

Resposta

-2\mathbf{i}+2\mathbf{j}

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