Encontre a projeção ortogonal de
sobre o subespaço
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
A pergunta é: encontrar a projeção ortogonal de
sobre
(ou seja, o vetor em
mais próximo de
).
Passo 2
Conceito e fórmula útil (explicação didática e rápida):
- Produto interno padrão em
: para e , - Projeção de
sobre uma reta gerada por é Explicação breve: escolhemos escalar tal que seja ortogonal a ; isso leva a . - Se
tem vetores geradores ortogonais (ou uma base ortogonal) , então a projeção de em é a soma das projeções em cada gerador: Justificativa: os componentes ao longo de vetores ortogonais somam-se independentemente.
Passo 3
Verificar ortogonalidade dos geradores
e
. Calcular o produto interno:
Portanto
e
são ortogonais, então usamos a soma das projeções em cada um.
Passo 4
Calcular os produtos internos necessários:
Passo 5
Aplicar a fórmula da projeção em
:
Agora calcular explicitamente:
Observação didática: isto mostra que
já pertence a
, logo a projeção ortogonal de
sobre
é o próprio
.