Encontre a projeção ortogonal de (2,2,2,2) \in \mathbb{R}^{4} sobre o subespaço W=[(1,1,0,0),(0,0,1,1)].

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(2,2,2,2)\in\mathbb{R}^4 e o subespaço
W=\operatorname{span}\{\,u_1,u_2\,\}, \qquad u_1=(1,1,0,0),\quad u_2=(0,0,1,1).
A pergunta é: encontrar a projeção ortogonal de v sobre W (ou seja, o vetor em W mais próximo de v).

Passo 2

Conceito e fórmula útil (explicação didática e rápida):
  • Produto interno padrão em \mathbb{R}^4: para x=(x_1,\dots,x_4) e y=(y_1,\dots,y_4), \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
  • Projeção de v sobre uma reta gerada por u\neq0 é \operatorname{proj}_{\langle u\rangle}(v)=\frac{\langle v,u\rangle}{\langle u,u\rangle}\,u.Explicação breve: escolhemos escalar \alpha tal que v-\alpha u seja ortogonal a u; isso leva a \alpha=\langle v,u\rangle/\langle u,u\rangle.
  • Se W tem vetores geradores ortogonais (ou uma base ortogonal) u_1,\dots,u_k, então a projeção de v em W é a soma das projeções em cada gerador: \operatorname{proj}_W(v)=\sum_{i=1}^k \frac{\langle v,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}\,u_i.Justificativa: os componentes ao longo de vetores ortogonais somam-se independentemente.

Passo 3

Verificar ortogonalidade dos geradores u_1 e u_2. Calcular o produto interno:
\langle u_1,u_2\rangle = 1\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 0\cdot 1 = 0.
Portanto u_1 e u_2 são ortogonais, então usamos a soma das projeções em cada um.

Passo 4

Calcular os produtos internos necessários:
\langle v,u_1\rangle = 2\cdot1 + 2\cdot1 + 2\cdot0 + 2\cdot0 = 4,
\langle u_1,u_1\rangle = 1^2+1^2+0^2+0^2 = 2,
\langle v,u_2\rangle = 2\cdot0 + 2\cdot0 + 2\cdot1 + 2\cdot1 = 4,
\langle u_2,u_2\rangle = 0^2+0^2+1^2+1^2 = 2.

Passo 5

Aplicar a fórmula da projeção em W:
\operatorname{proj}_W(v) = \frac{\langle v,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1 + \frac{\langle v,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle}u_2 = \frac{4}{2}u_1 + \frac{4}{2}u_2 = 2u_1 + 2u_2.
Agora calcular explicitamente:
2u_1 + 2u_2 = 2(1,1,0,0) + 2(0,0,1,1) = (2,2,2,2).
Observação didática: isto mostra que v já pertence a W, logo a projeção ortogonal de v sobre W é o próprio v.

Resposta

(2,2,2,2)

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