Seja
um espaço vetorial sobre
com produto interno. Mostre que.
Se
são isometrias então
é isometria.
Se
Passo 1
O enunciado dá claramente:
-
é um espaço vetorial sobre com produto interno (ou seja, existe um produto interno em ). -
são isometrias.
O que é pedido:
- Mostrar que
(a composição) também é uma isometria.
Informações relevantes dadas:
- Para todo
vale, por hipótese, que e preservam a estrutura do espaço (isto é, são lineares) e preservam o produto interno no sentido abaixo (ver Passo 2 para definição precisa).
Passo 2
Definição e lembretes úteis (explicados devagarinho):
- Produto interno:
é uma aplicação que satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida. A partir dele definimos a norma por
onde
é o “tamanho” (norma) do vetor
.
- Isometria (no contexto dado): uma aplicação linear
é chamada isometria se, para todos ,
Em particular isso implica que
para todo
, pois
- Observação sobre equivalência: preservar o produto interno implica preservar a norma imediatamente (como mostrei). O recíproco (preservar norma implica preservar produto interno) também é verdadeiro em espaços reais, usando a identidade de polarização
mas não precisamos da recíproca aqui; basta usar a definição dada acima.
Passo 3
Estratégia para provar que
é isometria:
- Usar diretamente a definição: mostrar que, para quaisquer
,
Vou fazer uma cadeia de igualdades, justificando cada passo pelo fato de
ou
serem isometrias.
Passo 4
Cálculo passo a passo (cada igualdade é justificada):
Começo com o lado esquerdo que queremos igualar:
Começo com o lado esquerdo que queremos igualar:
Pela definição de composição isso é
Como
é isometria, ele preserva o produto interno, logo posso “tirar” o
e obter
Agora aplico que
também é isometria; portanto
Passo 5
Concluindo a cadeia:
Unindo as igualdades acima obtemos
Unindo as igualdades acima obtemos
para todo
. Isso é exatamente a definição de que
é uma isometria.
Observação alternativa (curtinha): usando normas, para todo
temos
onde cada igualdade usa que
ou
preservam norma; isso também mostra que a composição preserva normas e, portanto, é isometria.