Seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno. Mostre que.
Se T_{1}, T_{2}: V \rightarrow V são isometrias então T_{1} \circ T_{2} é isometria.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} com produto interno (ou seja, existe um produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle em V).
  • T_{1},T_{2}:V\to V são isometrias.
O que é pedido:
  • Mostrar que T_{1}\circ T_{2} (a composição) também é uma isometria.
Informações relevantes dadas:
  • Para todo x,y\in V vale, por hipótese, que T_{1} e T_{2} preservam a estrutura do espaço (isto é, são lineares) e preservam o produto interno no sentido abaixo (ver Passo 2 para definição precisa).

Passo 2

Definição e lembretes úteis (explicados devagarinho):
  • Produto interno: \langle x,y\rangle é uma aplicação V\times V\to\mathbb{R} que satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida. A partir dele definimos a norma por
\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle},
onde \|x\| é o “tamanho” (norma) do vetor x.
  • Isometria (no contexto dado): uma aplicação linear T:V\to V é chamada isometria se, para todos u,v\in V,
\langle T(u),T(v)\rangle=\langle u,v\rangle.
Em particular isso implica que \|T(u)\|=\|u\| para todo u\in V, pois
\|T(u)\|^2=\langle T(u),T(u)\rangle=\langle u,u\rangle=\|u\|^2.
  • Observação sobre equivalência: preservar o produto interno implica preservar a norma imediatamente (como mostrei). O recíproco (preservar norma implica preservar produto interno) também é verdadeiro em espaços reais, usando a identidade de polarização
\langle x,y\rangle=\tfrac{1}{2}\big(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\big),
mas não precisamos da recíproca aqui; basta usar a definição dada acima.

Passo 3

Estratégia para provar que T_{1}\circ T_{2} é isometria:
  • Usar diretamente a definição: mostrar que, para quaisquer v,w\in V,
\langle (T_{1}\circ T_{2})(v),(T_{1}\circ T_{2})(w)\rangle=\langle v,w\rangle.
Vou fazer uma cadeia de igualdades, justificando cada passo pelo fato de T_{1} ou T_{2} serem isometrias.

Passo 4

Cálculo passo a passo (cada igualdade é justificada):
Começo com o lado esquerdo que queremos igualar:
\langle (T_{1}\circ T_{2})(v),(T_{1}\circ T_{2})(w)\rangle.
Pela definição de composição isso é
\langle T_{1}(T_{2}(v)),\,T_{1}(T_{2}(w))\rangle.
Como T_{1} é isometria, ele preserva o produto interno, logo posso “tirar” o T_{1} e obter
\langle T_{1}(T_{2}(v)),\,T_{1}(T_{2}(w))\rangle=\langle T_{2}(v),\,T_{2}(w)\rangle.
Agora aplico que T_{2} também é isometria; portanto
\langle T_{2}(v),\,T_{2}(w)\rangle=\langle v,w\rangle.

Passo 5

Concluindo a cadeia:
Unindo as igualdades acima obtemos
\langle (T_{1}\circ T_{2})(v),(T_{1}\circ T_{2})(w)\rangle=\langle v,w\rangle
para todo v,w\in V. Isso é exatamente a definição de que T_{1}\circ T_{2} é uma isometria.
Observação alternativa (curtinha): usando normas, para todo v\in V temos
\|(T_{1}\circ T_{2})(v)\|=\|T_{1}(T_{2}(v))\|=\|T_{2}(v)\|=\|v\|,
onde cada igualdade usa que T_{1} ou T_{2} preservam norma; isso também mostra que a composição preserva normas e, portanto, é isometria.

Resposta

T_{1}\circ T_{2} é isometria.

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