Seja T uma isometria em um espaço vetorial V sobre \mathbb{R} com produto interno. Mostre que T preserva o ângulo entre vetores não nulos de V.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
  • Dado: T é uma isometria em um espaço vetorial V sobre \mathbb{R} munido de produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
  • Produto interno define norma por \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}.
  • Pedido: mostrar que T preserva o ângulo entre vetores não nulos de V; ou seja, para quaisquer vetores não nulos u,v\in V devemos provar que o ângulo entre u e v é igual ao ângulo entre Tu e Tv.
Observação importante que vou usar sem perguntar: aqui vou entender “isometria” como aplicação linear T:V\to V que preserva normas, isto é,
\|T x\|=\|x\|\quad\text{para todo }x\in V.
(esta é a definição usual de isometria linear em espaços com produto interno.)

Passo 2

Definição de ângulo e a estratégia básica (aulas de revisão curtinha).
  • Em espaços com produto interno, o cosseno do ângulo entre dois vetores u e v não nulos é definido por
\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
Aqui \theta é o ângulo entre u e v, \langle u,v\rangle é o produto interno e \|u\|,\|v\| são as normas.
  • Portanto, para mostrar que T preserva ângulos basta mostrar que o valor do quociente \dfrac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|} é o mesmo que o quociente \dfrac{\langle Tu,Tv\rangle}{\|Tu\|\,\|Tv\|} para todo u,v\neq 0. Como \|Tu\|=\|u\| e \|Tv\|=\|v\| (isometria), resta mostrar que \langle Tu,Tv\rangle=\langle u,v\rangle.

Passo 3

Lembrete técnico útil: identidade de polarização (por que e como usá-la).
  • Em espaços reais com produto interno vale a identidade de polarização:
\langle x,y\rangle=\tfrac{1}{2}\big(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}\big)
para quaisquer x,y\in V.
  • Explicando essa fórmula: \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle=\|x\|^{2}+2\langle x,y\rangle+\|y\|^{2}. Isolando \langle x,y\rangle obtém-se exatamente a identidade acima. É uma forma prática de recuperar o produto interno a partir das normas.

Passo 4

Aplicar a identidade de polarização a Tu e Tv e usar que T preserva normas.
  • Usando a identidade para Tu e Tv:
\langle Tu,Tv\rangle=\tfrac{1}{2}\big(\|Tu+Tv\|^{2}-\|Tu\|^{2}-\|Tv\|^{2}\big).
  • Como T é linear e isométrica, Tu+Tv=T(u+v) e \|T w\|=\|w\| para todo w. Logo
\|Tu+Tv\|^{2}=\|T(u+v)\|^{2}=\|u+v\|^{2},
e também \|Tu\|^{2}=\|u\|^{2}, \|Tv\|^{2}=\|v\|^{2}.
  • Substituindo na expressão do produto interno:
\langle Tu,Tv\rangle=\tfrac{1}{2}\big(\|u+v\|^{2}-\|u\|^{2}-\|v\|^{2}\big)=\langle u,v\rangle.
  • Conclusão útil: T preserva o produto interno:
\langle Tu,Tv\rangle=\langle u,v\rangle\quad\text{para todos }u,v\in V.

Passo 5

Concluir que o cosseno do ângulo (e portanto o ângulo) é preservado.
  • Para u,v\neq 0 escrevemos o cosseno do ângulo entre Tu e Tv:
\frac{\langle Tu,Tv\rangle}{\|Tu\|\,\|Tv\|}.
  • Usando os resultados obtidos: \langle Tu,Tv\rangle=\langle u,v\rangle e \|Tu\|=\|u\|, \|Tv\|=\|v\|, temos
\frac{\langle Tu,Tv\rangle}{\|Tu\|\,\|Tv\|}=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}.
  • Como a função \operatorname{arccos} é monótona decrescente no intervalo [-1,1], a igualdade dos cossenos implica igualdade dos ângulos (tomando o valor de \operatorname{arccos} no intervalo [0,\pi], que é a definição padrão do ângulo entre vetores). Portanto
\angle(Tu,Tv)=\angle(u,v).

Resposta

\angle(Tu,Tv)=\angle(u,v) para todos u,v\in V, u\neq0, v\neq0.

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