Seja
uma isometria em um espaço vetorial
sobre
com produto interno. Mostre que
preserva o ângulo entre vetores não nulos de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado).
- Dado:
é uma isometria em um espaço vetorial sobre munido de produto interno . - Produto interno define norma por
. - Pedido: mostrar que
preserva o ângulo entre vetores não nulos de ; ou seja, para quaisquer vetores não nulos devemos provar que o ângulo entre e é igual ao ângulo entre e .
Observação importante que vou usar sem perguntar: aqui vou entender “isometria” como aplicação linear
que preserva normas, isto é,
(esta é a definição usual de isometria linear em espaços com produto interno.)
Passo 2
Definição de ângulo e a estratégia básica (aulas de revisão curtinha).
- Em espaços com produto interno, o cosseno do ângulo entre dois vetores
e não nulos é definido por
Aqui
é o ângulo entre
e
,
é o produto interno e
são as normas.
- Portanto, para mostrar que
preserva ângulos basta mostrar que o valor do quociente é o mesmo que o quociente para todo . Como e (isometria), resta mostrar que .
Passo 3
Lembrete técnico útil: identidade de polarização (por que e como usá-la).
- Em espaços reais com produto interno vale a identidade de polarização:
para quaisquer
.
- Explicando essa fórmula:
. Isolando obtém-se exatamente a identidade acima. É uma forma prática de recuperar o produto interno a partir das normas.
Passo 4
Aplicar a identidade de polarização a
e
e usar que
preserva normas.
- Usando a identidade para
e :
- Como
é linear e isométrica, e para todo . Logo
e também
,
.
- Substituindo na expressão do produto interno:
- Conclusão útil:
preserva o produto interno:
Passo 5
Concluir que o cosseno do ângulo (e portanto o ângulo) é preservado.
- Para
escrevemos o cosseno do ângulo entre e :
- Usando os resultados obtidos:
e , , temos
- Como a função
é monótona decrescente no intervalo , a igualdade dos cossenos implica igualdade dos ângulos (tomando o valor de no intervalo , que é a definição padrão do ângulo entre vetores). Portanto