Seja T \in \mathbb{R}^{2} tal que a matriz de T com relação a uma base ortonormal de \mathbb{R}^{2} é dada por \left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -2 & 1\end{array}\right) . T é uma isometria?
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz, em relação a uma base ortonormal de \mathbb{R}^2, é
A pergunta é: T é uma isometria? (ou seja, T preserva distâncias/nomes de vetores da norma euclidiana).]
Passo 2
Vamos lembrar o que significa ser uma isometria linear no espaço euclidiano \mathbb{R}^2. Uma transformação linear T com matriz A (em uma base ortonormal) é isometria se e somente se preserva o produto interno, isto é, para todos x,y\in\mathbb{R}^2
\langle Ax,Ay\rangle=\langle x,y\rangle.
Em termos matriciais esta condição é equivalente a
A^{T}A=I,
onde I é a matriz identidade. Outra forma equivalente: A é uma matriz ortogonal. Se A^{T}A=I, então necessariamente \det A=\pm1.
Explicação rápida do porquê: para vetores x,y temos \langle Ax,Ay\rangle=(Ax)^{T}(Ay)=x^{T}A^{T}Ay. Para que isso seja igual a x^{T}y=\langle x,y\rangle para todo x,y é preciso que A^{T}A=I.
Logo \|Ax\|=\sqrt{5}\,\|x\| para todo x. Os comprimentos são multiplicados por \sqrt{5}, não são preservados (exceto pelo vetor nulo). Assim A não preserva normas, logo não preserva distâncias, logo não é isometria.
Geometricamente: A é a composição de uma rotação (ou rotação + reflexão) com uma dilatação por fator \sqrt{5}. A dilatação quebra a propriedade de isometria.
Passo 5
Verificação extra via determinante (cheia de intuição e útil em provas):
Calcule \det A:
\det A = 1\cdot1 - (2\cdot(-2)) = 1 - (-4) = 5.
Para uma matriz ortogonal (isometria linear) tem-se |\det A|=1. Aqui \det A=5\neq\pm1, o que confirma que A não é ortogonal e, portanto, T não é uma isometria.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (como checar rápido):
Se a matriz dada estiver em relação a uma base ortonormal, verifique A^{T}A. Se der I, é isometria; se não, não é.
Como atalho, pode checar o determinante: se |\det A|\neq1 já dá pra concluir que não é isometria.
Força aí — a conta foi curta e conclui sem dor de cabeça!