Verifique se os planos \pi_{1}: x+y+z=6 e \pi_{2}:(x, y, z)=(1,2,1)+\alpha(1,-1,0)+\beta(0,2,1) são concorrentes.
Em caso afirmativo, encontre a equação da reta de in \downarrow seção.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os planos
\pi_{1}:x+y+z=6
e
\pi_{2}:(x,y,z)=(1,2,1)+\alpha\,(1,-1,0)+\beta\,(0,2,1)
são concorrentes (isto é, se se interceptam numa reta) e, em caso afirmativo, determinar a equação dessa reta de interseção. Para isso vamos ( 1) comparar seus vetores normais e ( 2) achar a reta comum fazendo uma parametrização.

Passo 2

O plano \pi_{1} tem vetor normal
n_{1}=(1,1,1).
No plano \pi_{2} temos dois vetores de direção
v_{1}=(1,-1,0), \quad v_{2}=(0,2,1).
O normal de \pi_{2} é dado pelo produto vetorial
n_{2}=v_{1}\times v_{2} =\det\begin{pmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-1&0\\\\ 0&2&1 \end{pmatrix} =(-1,-1,2).

Passo 3

Verificamos se n_{1} e n_{2} são colineares. Não existe escalar \lambda tal que
(1,1,1)=\lambda(-1,-1,2),
logo n_{1}\not\parallel n_{2}. Isso implica que os planos não são paralelos e, portanto, se interceptam numa reta.

Passo 4

Para achar a reta de interseção, tomamos o ponto genérico de \pi_{2}
(x,y,z)=(1+\alpha,\;2-\alpha+2\beta,\;1+\beta)
e impomos que ele satisfaça x+y+z=6. Assim:
(1+\alpha)+(2-\alpha+2\beta)+(1+\beta)=6 \quad\Longrightarrow\quad 4+3\beta=6 \quad\Longrightarrow\quad \beta=\tfrac{2}{3}.
O parâmetro \alpha permanece livre; vamos chamá-lo de t.

Passo 5

Substituindo \beta=\tfrac23 e \alpha=t obtemos
x=1+t, \quad y=2 - t +2\cdot\tfrac{2}{3}= \tfrac{10}{3}-t, \quad z=1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}.
Logo a reta de interseção pode ser escrita em forma vetorial como
\bigl(x,y,z\bigr) =\bigl(1,\tfrac{10}{3},\tfrac{5}{3}\bigr) + t\,(1,-1,0), \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

A reta de interseção é
(x,y,z)=(1+t,\;\tfrac{10}{3}-t,\;\tfrac{5}{3}),\quad t\in\mathbb{R}.

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