Questão 2.
(a) Qual a relação entre os autovalores de uma matriz e de sua transposta?
(b) Se uma matriz é diagonalizável, então a sua transposta também é diagonalizável?
(c) Se uma matriz é inversível, qual a relação entres seus autovalores e os de sua inversa? E quanto aos autovetores? E quanto à sua diagonalizabilidade?
Nas notas de “transpostas de transformações lineares”, foram provados os seguintes fatos: Dada uma transformação linear
com transposta
,
(I)
;
(II) Se
é uma base ordenada para
, então
é a transposta de
.
Além disso, na lista de exercícios 8, você mostrou que, se
é um subespaço de
, então
(III)
.
(a) Utilizando esses fatos e o Teorema do Núcleo e da Imagem, mostre que se
é uma matriz quadrada, então
e nulidade
.
(b) Conclua que
para todo
, em que
.
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer
.
(a) Qual a relação entre os autovalores de uma matriz e de sua transposta?
(b) Se uma matriz é diagonalizável, então a sua transposta também é diagonalizável?
(c) Se uma matriz é inversível, qual a relação entres seus autovalores e os de sua inversa? E quanto aos autovetores? E quanto à sua diagonalizabilidade?
(I)
(II) Se
(III)
(a) Utilizando esses fatos e o Teorema do Núcleo e da Imagem, mostre que se
(b) Conclua que
Passo 1
O enunciado nos pergunta três coisas sobre uma matriz
:
. (a) Como se relacionam os autovalores de
e de
?
. (b) Se
é diagonalizável,
também é?
. (c) Se
é inversível, como se relacionam os autovalores de
e de
? E os autovetores? E a diagonalizabilidade?
Para responder vamos usar que para toda matriz quadrada e todo escalar
vale
Para responder vamos usar que para toda matriz quadrada
e também
, o que implica igualdade das nulidades (dimensões dos autespaços).
Passo 2
Primeiro mostro que
. De fato,
Como o polinômio característico de
é
, concluo que
e
têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas.
Passo 3
Agora uso que
. Pela Fórmula da Dimensão do Núcleo e Imagem,
Mas
é exatamente o autespaço
e
. Logo, para todo
,
ou seja, as multiplicidades geométricas também coincidem.
Passo 4
(b) Se
é diagonalizável, existe uma base de
formada por autovetores de
. Escrevendo
com
diagonal, temos
que é justamente uma fatoração de
em
onde
. Portanto
também é diagonalizável, com os mesmos autovalores.
Passo 5
(c) Se
é inversível e
satisfaz
, então aplicando
obtemos
Logo cada autovalor
de
gera o autovalor
de
, usando o mesmo autovetor
. Em particular, se
era diagonalizável via
, então
é também diagonal (com entradas
) na mesma base de autovetores, logo
é diagonalizável.
Resposta
(a) Os polinômios característicos de
e
coincidem, logo têm os mesmos autovalores com mesmas multiplicidades algébrica e geométrica.
(b) Sim. Se é diagonalizável via
, então
mostra que
também é diagonalizável.
(c) Os autovalores de são os inversos dos autovalores não nulos de
, e usa-se o mesmo autovetor. Ademais,
herda a diagonalizabilidade de
.
(b) Sim. Se
(c) Os autovalores de