Questão 2.
(a) Qual a relação entre os autovalores de uma matriz e de sua transposta?
(b) Se uma matriz é diagonalizável, então a sua transposta também é diagonalizável?
(c) Se uma matriz é inversível, qual a relação entres seus autovalores e os de sua inversa? E quanto aos autovetores? E quanto à sua diagonalizabilidade?
Nas notas de “transpostas de transformações lineares”, foram provados os seguintes fatos: Dada uma transformação linear T \in L(\mathbb{V}) com transposta T^{*} \in L\left(\mathbb{V}^{*}\right),
(I) \operatorname{im}\left(T^{*}\right)=\operatorname{ker}(T)^{0};
(II) Se \mathcal{B} é uma base ordenada para \mathbb{V}, então \left[T^{*}\right]_{\mathcal{B}^{*}}^{\mathcal{B}^{*}} é a transposta de [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}.
Além disso, na lista de exercícios 8, você mostrou que, se W é um subespaço de \mathbb{V}, então
(III) \operatorname{dim}\left(W^{0}\right)=\operatorname{dim}(\mathbb{V})-\operatorname{dim}(W).
(a) Utilizando esses fatos e o Teorema do Núcleo e da Imagem, mostre que se A é uma matriz quadrada, então \operatorname{rank}\left(A^{t}\right)=\operatorname{rank}(A) e nulidade (A)=\operatorname{nulidade}\left(A^{t}\right).
(b) Conclua que \operatorname{dim}(\mathscr{E}(A, \lambda))=\operatorname{dim}\left(\mathscr{E}\left(A^{t}, \lambda\right)\right) para todo \lambda \in \mathbb{F}, em que \mathscr{E}(X, \lambda)=\operatorname{ker}(X-\lambda I).
Nas questões abaixo, exceto por alguma menção explícita em contrário, consideramos espaços vetoriais sobre um corpo qualquer \mathbb{F}.

Passo 1

O enunciado nos pergunta três coisas sobre uma matriz A:
1. (a) Como se relacionam os autovalores de A e de A^{T}?
2. (b) Se A é diagonalizável, A^{T} também é?
3. (c) Se A é inversível, como se relacionam os autovalores de A e de A^{-1}? E os autovetores? E a diagonalizabilidade?
Para responder vamos usar que para toda matriz quadrada A e todo escalar \lambda vale
\det\bigl(A^{T}-\lambda I\bigr)=\det\bigl(A-\lambda I\bigr)
e também \operatorname{rank}(A^{T}-\lambda I)=\operatorname{rank}(A-\lambda I), o que implica igualdade das nulidades (dimensões dos autespaços).

Passo 2

Primeiro mostro que \det(A^{T}-\lambda I)=\det(A-\lambda I). De fato,
\det\bigl(A^{T}-\lambda I\bigr) =\det\bigl((A-\lambda I)^{T}\bigr) =\det\bigl(A-\lambda I\bigr).
Como o polinômio característico de A é \chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I), concluo que A e A^{T} têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades algébricas.

Passo 3

Agora uso que \operatorname{rank}(A^{T}-\lambda I)=\operatorname{rank}(A-\lambda I). Pela Fórmula da Dimensão do Núcleo e Imagem,
\dim\ker(A^{T}-\lambda I) =\dim\ker(A-\lambda I).
Mas \ker(A-\lambda I) é exatamente o autespaço \mathscr{E}(A,\lambda) e \ker(A^{T}-\lambda I)=\mathscr{E}(A^{T},\lambda). Logo, para todo \lambda,
\dim\mathscr{E}(A,\lambda)=\dim\mathscr{E}(A^{T},\lambda),
ou seja, as multiplicidades geométricas também coincidem.

Passo 4

(b) Se A é diagonalizável, existe uma base de \mathbb{F}^{n} formada por autovetores de A. Escrevendo A=PDP^{-1} com D diagonal, temos
A^{T}=(PDP^{-1})^{T}=(P^{-1})^{T}D\,P^{T},
que é justamente uma fatoração de A^{T} em P'\,D\,(P')^{-1} onde P'=(P^{-1})^{T}. Portanto A^{T} também é diagonalizável, com os mesmos autovalores.

Passo 5

(c) Se A é inversível e v\neq0 satisfaz A\,v=\lambda v, então aplicando A^{-1} obtemos
v=A^{-1}(\lambda v)=\lambda\,(A^{-1}v) \quad\Longrightarrow\quad A^{-1}v=\lambda^{-1}v.
Logo cada autovalor \lambda\neq0 de A gera o autovalor \lambda^{-1} de A^{-1}, usando o mesmo autovetor v. Em particular, se A era diagonalizável via A=PDP^{-1}, então
A^{-1}=P\,D^{-1}\,P^{-1}
é também diagonal (com entradas \lambda^{-1}) na mesma base de autovetores, logo A^{-1} é diagonalizável.

Resposta

(a) Os polinômios característicos de A e A^{T} coincidem, logo têm os mesmos autovalores com mesmas multiplicidades algébrica e geométrica.
(b) Sim. Se A é diagonalizável via A=PDP^{-1}, então A^{T}=(P^{-1})^{T}D\,P^{T} mostra que A^{T} também é diagonalizável.
(c) Os autovalores de A^{-1} são os inversos dos autovalores não nulos de A, e usa-se o mesmo autovetor. Ademais, A^{-1} herda a diagonalizabilidade de A.

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