Encontre a projeção ortogonal de \vec{u}=6 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}+2 \hat{k} em \vec{v}=\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}-2 \hat{k} e a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec{u}=6\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+2\hat{k} e \vec{v}=\hat{\imath}-2\hat{\jmath}-2\hat{k} e pede (a) a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v} e (b) a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v}. O conteúdo necessário é a fórmula de projeção de vetores e de componente escalar.

Passo 2

A projeção de \vec{u} em \vec{v} é dada por
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec v\|^2}\,\vec v
e a componente escalar de \vec{u} na direção de \vec{v} é
\mathrm{comp}_{\vec v}\vec u = \frac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec v\|}.

Passo 3

Calculamos o produto escalar
\vec u\cdot\vec v =6\cdot1 + 3\cdot(-2) + 2\cdot(-2) =6 - 6 - 4 =-4.

Passo 4

Calculamos o quadrado da norma de \vec{v} e em seguida a norma:
\|\vec v\|^2 =1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 =1 + 4 + 4 =9,
\|\vec v\| = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

Substituindo em \mathrm{proj}_{\vec v}\vec u:
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u = \frac{-4}{9}\,\vec v = \frac{-4}{9}\bigl(\hat{\imath}-2\hat{\jmath}-2\hat{k}\bigr) = -\frac{4}{9}\,\hat{\imath} +\frac{8}{9}\,\hat{\jmath} +\frac{8}{9}\,\hat{k}.

Passo 6

Substituindo em \mathrm{comp}_{\vec v}\vec u:
\mathrm{comp}_{\vec v}\vec u = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}.

Resposta

A projeção ortogonal é
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u =-\frac{4}{9}\,\hat{\imath} +\frac{8}{9}\,\hat{\jmath} +\frac{8}{9}\,\hat{k},
e a componente escalar é
\mathrm{comp}_{\vec v}\vec u =-\frac{4}{3}.

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