Encontre uma solução não-trivial para o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z+4 w=0 \\\\ 2 x+y+z-w=0 \\\\ 3 x-2 y+z-2 w=0 \end{array}\right.
e, a partir daí, obtenha uma combinação linear nula dos vetores v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,1,-2), v_{3}= (3,1,1), v_{4}=(4,-1,2), na qual os coeficientes não são todos iguais a zero, ou seja, conclua que estes vetores são L.D…

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, encontrar uma solução não-trivial do sistema homogêneo
\begin{cases} x + 2y + 3z + 4w = 0,\\\\ 2x + y + z - w = 0,\\\\ 3x - 2y + z - 2w = 0, \end{cases}
e em seguida usar essa solução como coeficientes numa combinação
x\,v_{1}+y\,v_{2}+z\,v_{3}+w\,v_{4}=0
para os vetores
v_{1}=(1,2,3),\quad v_{2}=(2,1,-2),\quad v_{3}=(3,1,1),\quad v_{4}=(4,-1,-2),
mostrando que eles são linearmente dependentes. Vamos usar eliminação de Gauss para resolver o sistema e, depois, montar a combinação.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo de x:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & -1 & 0\\\\ 3 & -2 & 1 & -2 & 0 \end{array}\right]
R2 \leftarrow R2 - 2\cdotR1 e R3 \leftarrow R3 - 3\cdotR1 dão
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\\\ 0 & -3 & -5 & -9 & 0\\\\ 0 & -8 & -8 & -14 & 0 \end{array}\right].
Em seguida, pivoteamos em y: dividimos R2 por -3 e eliminamos em R3.

Passo 3

De R2 temos
y + \tfrac{5}{3}\,z + 3\,w = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{5}{3}z - 3w.
Substituindo em R3 \bigl(-8y -8z -14w=0\bigr) achamos
-\tfrac{8\cdot(-5/3)z}-8z-14w=0 \;\Longrightarrow\; \tfrac{16}{3}z +10w=0 \;\Longrightarrow\; z = -\tfrac{15}{8}\,w.
Então
y = -\tfrac{5}{3}\bigl(-\tfrac{15}{8}w\bigr)-3w = \tfrac{1}{8}w.
Finalmente, de R1
x + 2y + 3z +4w=0 \;\Longrightarrow\; x = -2\bigl(\tfrac{1}{8}w\bigr) -3\bigl(-\tfrac{15}{8}w\bigr)-4w = \tfrac{11}{8}\,w.

Passo 4

Como queremos uma solução não-trivial, escolhemos o parâmetro w=8. Assim
(x,y,z,w)=(11,\,1,\,-15,\,8).

Passo 5

Usamos esses valores na combinação
11\,v_{1}+1\,v_{2}-15\,v_{3}+8\,v_{4}.
Verificando coordenada a coordenada:
\begin{aligned} &11\cdot1 + 1\cdot2 -15\cdot3 +8\cdot4 = 11+2-45+32 = 0,\\\ &11\cdot2 + 1\cdot1 -15\cdot1 +8\cdot(-1) = 22+1-15-8 = 0,\\\ &11\cdot3 + 1\cdot(-2) -15\cdot1 +8\cdot(-2) = 33-2-15-16 = 0. \end{aligned}
Logo obtemos uma combinação linear nula com coeficientes não todos zero, o que prova que v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são L.D.

Resposta

Uma solução não-trivial do sistema é
(x,y,z,w) = (11,\,1,\,-15,\,8).
Com isso,
11\,v_{1} + v_{2} -15\,v_{3} +8\,v_{4} = (0,0,0),
portanto v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente dependentes.

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