Encontre o quie é pedido em cada item:
Um ponto
move-se ao longo do gráfico de
de tal modo que a sua abscissa
varia a uma velocidade constante de
. Qual a velocidade da ordenada y no instante en que
?
Um ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um ponto
que se move ao longo do gráfico da função
. A abscissa
desse ponto está aumentando a uma velocidade constante de
. A pergunta é: qual é a velocidade da ordenada
quando
?
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas relacionadas a taxas de variação. Vamos precisar entender como a taxa de variação de
em relação ao tempo (
) se relaciona com a taxa de variação de
em relação ao tempo (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função que relaciona duas variáveis, como
, e ambas dependem do tempo
, podemos usar a Regra da Cadeia para encontrar como
está mudando com o tempo.
A Regra da Cadeia diz que:
Aqui,
é a velocidade da ordenada
,
é a derivada de
em relação a
, e
é a velocidade da abscissa
, que já sabemos que é
.
Então, vamos primeiro encontrar
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
. Para isso, usamos a Regra do Quociente ou a Regra da Potência.
Escrevendo
de forma diferente para facilitar a derivação:
Agora, derivando em relação a
:
Então,
.
Passo 4
Agora, aplicando a Regra da Cadeia que mencionamos:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
quando
. Substituindo
na expressão:
Resposta
A velocidade da ordenada
no instante em que
é
.