Encontre o quie é pedido em cada item:
Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y=1x^2+1 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 15 m / s. Qual a velocidade da ordenada y no instante en que x=3 m?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um ponto P que se move ao longo do gráfico da função y = 1x^2 + 1 . A abscissa x desse ponto está aumentando a uma velocidade constante de 15 , m/s . A pergunta é: qual é a velocidade da ordenada y quando x = 3 , m ?
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Diferencial, mais especificamente, derivadas relacionadas a taxas de variação. Vamos precisar entender como a taxa de variação de y em relação ao tempo ( dydt ) se relaciona com a taxa de variação de x em relação ao tempo ( dxdt ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função que relaciona duas variáveis, como y = f(x) , e ambas dependem do tempo t , podemos usar a Regra da Cadeia para encontrar como y está mudando com o tempo.
A Regra da Cadeia diz que:
dydt = dydx cdot dxdt
Aqui, dydt é a velocidade da ordenada y , dydx é a derivada de y em relação a x , e dxdt é a velocidade da abscissa x , que já sabemos que é 15 , m/s .
Então, vamos primeiro encontrar dydx .

Passo 3

Vamos derivar y = 1x^2 + 1 em relação a x . Para isso, usamos a Regra do Quociente ou a Regra da Potência.
Escrevendo y de forma diferente para facilitar a derivação:
y = (x^2 + 1)^-1
Agora, derivando em relação a x :
dydx = -1 cdot (x^2 + 1)^-2 cdot 2x = -2x(x^2 + 1)^2
Então, dydx = -2x(x^2 + 1)^2 .

Passo 4

Agora, aplicando a Regra da Cadeia que mencionamos:
dydt = dydx cdot dxdt
Substituindo dydx e dxdt :
dydt = -2x(x^2 + 1)^2 cdot 15
Simplificando:
dydt = -30x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar dydt quando x = 3 , m . Substituindo x = 3 na expressão:
dydt = -30 cdot 3(3^2 + 1)^2 = -90(9 + 1)^2 = -90100 = -0,9 , m/s

Resposta

A velocidade da ordenada y no instante em que x = 3 , m é -0,9 , m/s .

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