O valor do volume do sólido delimitado pelas superfícies
e
, é:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies
e
. Pra resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a região no plano xy onde essas duas superfícies se encontram. Igualando as duas equações:
Resolvendo isso:
Essa é a equação de uma elipse no plano xy. Saber isso é importante porque vai definir os limites da nossa integral.
Passo 3
Pra facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis pra transformar essa elipse num círculo. Vamos definir:
Com isso, a equação da elipse fica:
Agora, temos um círculo com raio
, o que simplifica bastante os cálculos.
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla sobre essa região circular:
Substituindo
e
:
Passo 5
Vamos mudar pra coordenadas polares pra facilitar ainda mais:
O fator de escala (jacobiano) dessa transformação é
. Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Substituindo os limites:
Multiplicando pelo
e pela integral em
:
Resposta
A alternativa correta é a letra a.
.