O valor do volume do sólido delimitado pelas superfícies z=16-x^2-3 y^2 e z=4, é:
Escolha uma opção:
a. 24 pi raiz3
b. 6 pi raiz3
c. 24 pi
d. 64 pi
e. 12 pi raiz3

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é encontrar o volume do sólido que está entre as superfícies e . Pra resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, pra calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a região no plano xy onde essas duas superfícies se encontram. Igualando as duas equações:
16 - x^2 - 3 y^2 = 4
Resolvendo isso:
x^2 + 3 y^2 = 12
Essa é a equação de uma elipse no plano xy. Saber isso é importante porque vai definir os limites da nossa integral.

Passo 3

Pra facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis pra transformar essa elipse num círculo. Vamos definir:
u = x
v = raiz3 y
Com isso, a equação da elipse fica:
u^2 + v^2 = 12
Agora, temos um círculo com raio , o que simplifica bastante os cálculos.

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume como uma integral dupla sobre essa região circular:
V = integral duplau^2 + v^2 <= 12 (16 - x^2 - 3 y^2 - 4) , dx , dy
Substituindo V = integral duplau^2 + v^2 <= 12 (12 - u^2 - v^2) cdot 1raiz3 , du , dv e :

Passo 5

Vamos mudar pra coordenadas polares pra facilitar ainda mais:
u = r cos theta
v = r sin theta
O fator de escala (jacobiano) dessa transformação é V = integral0^2pi integral0^2raiz3 (12 - r^2) cdot 1raiz3 cdot r , dr , dtheta . Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2raiz3 (12r - r^3) , dr = [ 6 r^2 - 14 r^4 ]0^2raiz3 :
6 cdot (2raiz3)^2 - 14 cdot (2raiz3)^4 = 6 cdot 12 - 14 cdot 144 = 72 - 36 = 36
Substituindo os limites:
V = 1raiz3 cdot 36 cdot 2pi = 72 piraiz3 = 24 pi raiz3
Multiplicando pelo e pela integral em :

Resposta

A alternativa correta é a letra a. .

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