Encontre o quociente e o resto para o que se segue:
(5 x^4+x^2-8 x+2) /(x^2-3 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio 5x^4 + x^2 - 8x + 2 pelo polinômio x^2 - 3x + 1. O conteúdo envolvido é a divisão longa de polinômios, em que iterativamente dividimos o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor, multiplicamos, subtraímos e baixamos o próximo termo.

Passo 2

Organizamos ambos em forma padrão, incluindo coeficientes zero quando necessário:
Dividendo = 5x^4 + 0x^3 + 1x^2 - 8x + 2
Divisor = x^2 - 3x + 1

Passo 3

Dividimos o termo líder do dividendo pelo líder do divisor:
5x^4x^2 = 5x^2
Multiplicamos o divisor por 5x^2 e subtraímos:
5x^2,(x^2 - 3x + 1) = 5x^4 - 15x^3 + 5x^2,
(5x^4 + 0x^3 + x^2 - 8x + 2) - (5x^4 - 15x^3 + 5x^2) = 15x^3 - 4x^2 - 8x + 2

Passo 4

Agora dividimos o novo termo líder pelo líder do divisor:
15x^3x^2 = 15x
Multiplicamos e subtraímos:
15x,(x^2 - 3x + 1) = 15x^3 - 45x^2 + 15x,
(15x^3 - 4x^2 - 8x + 2) - (15x^3 - 45x^2 + 15x) = 41x^2 - 23x + 2

Passo 5

Repetimos para o termo 41x^2:
41x^2x^2 = 41
Multiplicamos e subtraímos:
41,(x^2 - 3x + 1) = 41x^2 - 123x + 41,
(41x^2 - 23x + 2) - (41x^2 - 123x + 41) = 100x - 39

Passo 6

O resto 100x - 39 tem grau menor que o divisor ( 1<2), logo a divisão termina aqui. O quociente acumulado é 5x^2 + 15x + 41 e o resto é 100x - 39.

Resposta

Quociente: 5x^2 + 15x + 41
Resto: 100x - 39

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