As funções a seguir são bijetoras. Encontre a função inversa para cada uma delas:
f(x)=2-raiz4-x^2 -2 <= x <= 0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2-raiz4 - x^2, -2 <= x <= 0,
e diz que ela é bijetora. Queremos encontrar f^-1. O conteúdo envolvido é resolver para x em termos de y, trocar variáveis, cuidar do domínio e escolher corretamente o sinal da raiz quadrada.

Passo 2

Começamos por escrever
y = 2 - raiz4 - x^2
Agora trocamos x e y:
x = 2 - raiz4 - y^2
Isolando a raiz:
raiz4 - y^2 = 2 - x
Como o lado esquerdo é não-negativo, temos 2 - x>=0. Em seguida, elevamos ao quadrado:
4 - y^2 = (2 - x)^2 Longrightarrow y^2 = 4 - (2 - x)^2 Longrightarrow y = pm raiz4 - (2 - x)^2

Passo 3

Para decidir o sinal, lembramos que o domínio de f é [-2,0], logo sua inversa toma valores em [-2,0]. Como escolhemos x (após troca) no intervalo de saída de f, isto é 0<= x<=2, o resultado y=f^-1(x) deve ser <=0. Portanto, optamos pelo sinal “ -”:
f^-1(x) = -,raiz4 - (2 - x)^2
Podemos simplificar o interior:
4 - (2 - x)^2 = 4 - (4 - 4x + x^2) = 4x - x^2 = x,(4 - x),
ficando
f^-1(x) = - raizx,(4 - x), 0 <= x <= 2

Resposta

f^-1(x) = - raizx,(4 - x), 0 <= x <= 2

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