Encontre o raio de convergĂŞncia e o intervalo de convergĂŞncia da sĂŠrie.
sumn=1^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Isso é tópico de séries de potências. Pra resolver, vamos usar o teste da razão, que é a forma mais direta de descobrir o raio de convergência.

Passo 2

O teste da razão diz o seguinte: se temos uma série sum an, definimos
L = limntoinfty l|an+1anr|
  • Se L<1, a série converge.
  • Se L>1, diverge.
  • No caso de séries de potências, o raio de convergência R satisfaz R = 1/L.
    E se L=0, a gente conclui que R=infty.

Passo 3

Aqui o termo geral é
an = (-1)^n,x^2n+1(2n+1)!
Vamos montar a razão:
l|an+1anr| = gl|(-1)^n+1,x^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!(-1)^n,x^2n+1/(2n+1)!gr| = |x|^2(2n+2),(2n+3)

Passo 4

Agora pegamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty|x|^2(2n+2)(2n+3) = 0,
porque o denominador cresce sem parar. Como esse limite L=0 é menor que 1, a série converge para qualquer valor de x. Ou seja, R = 1/L = infty.

Passo 5

Se o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência na reta real é todo o conjunto dos números reais:
(-infty,infty)

Resposta

Raio de convergência R = infty.
Intervalo de convergência (-infty,infty).

Exercícios relacionados