Encontre o raio de convergĂŞncia e o intervalo de convergĂŞncia da sĂŠrie.
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra achar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Isso é tópico de séries de potências. Pra resolver, vamos usar o teste da razão, que é a forma mais direta de descobrir o raio de convergência.
Passo 2
O teste da razão diz o seguinte: se temos uma série
, definimos
- Se
, a série converge.L<1 - Se
, diverge.L>1 - No caso de séries de potências, o raio de convergência
satisfazR .R = 1/L
E se , a gente conclui queL=0 .R=infty
Passo 3
Aqui o termo geral é
Vamos montar a razão:
Passo 4
Agora pegamos o limite quando
ntoinfty :
porque o denominador cresce sem parar. Como esse limite
L=0 é menor que 1, a série converge para qualquer valor de
x . Ou seja,
R = 1/L = infty .
Passo 5
Se o raio de convergência é infinito, o intervalo de convergência na reta real é todo o conjunto dos números reais:
Resposta
Raio de convergência
R = infty .
Intervalo de convergência(-infty,infty) .
Intervalo de convergência