Qual o significado físico do módulo e da orientação do gradiente de um campo escalar?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o significado físico do módulo e da orientação do gradiente de um campo escalar. O conteúdo é cálculo vetorial, mais precisamente a interpretação física de um campo escalar
(por exemplo temperatura, pressão, potencial elétrico) e de seu gradiente
. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e as propriedades geométricas do gradiente.
Passo 2
O gradiente de um campo escalar
é definido como
Geometricamente, a direção desse vetor
em um ponto é aquela na qual
cresce mais rápido, e seu módulo está ligado à taxa dessa variação máxima.
Passo 3
O módulo
mede a maior variação de
por unidade de comprimento em torno do ponto considerado. Em termos de derivada direcional, se você se move numa direção unitária
, a variação de
é
e essa quantidade atinge o valor máximo precisamente quando
é paralelo a
. O valor máximo é
.
Passo 4
A orientação de
indica a direção de “declive máximo” inverso, ou seja, o sentido em que
aumenta mais rapidamente. Se
for temperatura, por exemplo, a seta de
aponta para onde a temperatura sobe mais depressa; no sentido oposto, ela aponta para a descida mais acentuada.
Resposta
O módulo
representa a taxa máxima de variação do campo escalar por unidade de comprimento, e a orientação de
é a direção na qual o campo escalar cresce mais rapidamente.