Qual o significado físico do módulo e da orientação do gradiente de um campo escalar?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o significado físico do módulo e da orientação do gradiente de um campo escalar. O conteúdo é cálculo vetorial, mais precisamente a interpretação física de um campo escalar phi( r) (por exemplo temperatura, pressão, potencial elétrico) e de seu gradiente nabla phi. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e as propriedades geométricas do gradiente.

Passo 2

O gradiente de um campo escalar phi( r) é definido como
nabla phi = l(partial phipartial x,,partial phipartial y,,partial phipartial zr)
Geometricamente, a direção desse vetor nabla phi em um ponto é aquela na qual phi cresce mais rápido, e seu módulo está ligado à taxa dessa variação máxima.

Passo 3

O módulo |nabla phi| mede a maior variação de phi por unidade de comprimento em torno do ponto considerado. Em termos de derivada direcional, se você se move numa direção unitária u, a variação de phi é
partial phipartial s = nabla phicdot u,
e essa quantidade atinge o valor máximo precisamente quando u é paralelo a nabla phi. O valor máximo é |nabla phi|.

Passo 4

A orientação de nabla phi indica a direção de “declive máximo” inverso, ou seja, o sentido em que phi aumenta mais rapidamente. Se phi for temperatura, por exemplo, a seta de nabla phi aponta para onde a temperatura sobe mais depressa; no sentido oposto, ela aponta para a descida mais acentuada.

Resposta

O módulo |nabla phi| representa a taxa máxima de variação do campo escalar por unidade de comprimento, e a orientação de nabla phi é a direção na qual o campo escalar cresce mais rapidamente.

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