Encontre a série de Taylor de f(x)=cos (5 x) em torno de a=pi e o raio de convergência. Escreva na sua forma reduzida.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=cos(5x) em torno de a=pi e o raio de convergência. Vamos precisar fazer a mudança de variável h = x-pi, usar uma identidade trigonométrica para deslocamento em cosseno e em seguida lembrar da expansão em série de Maclaurin de cos.

Passo 2

Definindo h = x-pi, temos
f(x)=cos(5x)=cosl(5(pi+h)r)=cos(5pi+5h)
Como cos(5pi+5h)=cos(5pi)cos(5h)-sin(5pi)sin(5h) e cos(5pi)=(-1)^5=-1, sin(5pi)=0, obtemos
f(x)=-cos(5h)onde h=x-pi

Passo 3

A série de Maclaurin para cos é
cos(5h)=sumn=0^infty(-1)^n(5h)^2n(2n)!

Passo 4

Logo,
f(x)=-cos(5h) =-sumn=0^infty(-1)^n5^2nh^2n(2n)! =sumn=0^infty(-1)^n+15^2n(2n)!(x-pi)^2n

Passo 5

O raio de convergência da série de Maclaurin de cos é infinito, e esse deslocamento não altera o raio. Portanto o raio de convergência continua sendo infinito.

Resposta

cos(5x)=sumn=0^infty(-1)^n+15^2n(2n)!,(x-pi)^2n,
com raio de convergência R=infty.

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