Encontre a série de Taylor de
em torno de
e o raio de convergência. Escreva na sua forma reduzida.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de
em torno de
e o raio de convergência. Vamos precisar fazer a mudança de variável
, usar uma identidade trigonométrica para deslocamento em cosseno e em seguida lembrar da expansão em série de Maclaurin de
.
Passo 2
Definindo
, temos
Como
e
,
, obtemos
Passo 3
A série de Maclaurin para
é
Passo 4
Logo,
Passo 5
O raio de convergência da série de Maclaurin de
é infinito, e esse deslocamento não altera o raio. Portanto o raio de convergência continua sendo infinito.
Resposta
com raio de convergência
.