Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^inftyx^2nn(ln n)^2
O conteúdo principal é teste de convergência de série de potências (usando, por exemplo, o teste da razão) e exame dos pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão aos coeficientes
an=1n(ln n)^2,
considerando o termo geral da série como
un=an,x^2n. Calculamos
limntoinfty|un+1un| =limntoinfty |x^2(n+1)(n+1)(ln(n+1))^2,n(ln n)^2x^2n| =limntoinfty|x|^2nn+1(ln n)^2(ln(n+1))^2 =|x|^2
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que 1, ou seja, se
|x|^2<1Long<=ftrightarrow |x|<1
Portanto, o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Falta verificar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1. Para ambos temos
x^2n=1,
então a série torna-se
sumn=1^infty1n(ln n)^2
Este é um caso clássico de série de Bertrand: sum1/(n(ln n)^p) converge se e somente se p>1. Aqui p=2>1, logo a série converge em x=pm1.

Passo 4

Concluímos que a série converge para |x|<1 e também nos pontos extremos x=pm1. Assim, o intervalo de convergência é
[-1,1]

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].

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