Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo principal é teste de convergência de série de potências (usando, por exemplo, o teste da razão) e exame dos pontos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão aos coeficientes
considerando o termo geral da série como
. Calculamos
O teste da razão diz que a série converge se este limite for menor que
1 , ou seja, se
Portanto, o raio de convergência é
Passo 3
Falta verificar o comportamento nos extremos
x=1 e
x=-1 . Para ambos temos
então a série torna-se
Este é um caso clássico de série de Bertrand:
sum1/(n(ln n)^p) converge se e somente se
p>1 . Aqui
p=2>1 , logo a série converge em
x=pm1 .
Passo 4
Concluímos que a série converge para
|x|<1 e também nos pontos extremos
x=pm1 . Assim, o intervalo de convergência é
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:[-1,1] .
Intervalo de convergência: