Seja (Sn) a sequência das somas parciais da série sumn=1^infty an. Encontre uma expressão para Sn em função de n.
Considere a sequência de termo geral
an=2 n+22^n-2 n2^n-1, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial
Sn=sumk=1^nak
da série cujo termo geral é
an=2n+22^n-2n2^n-1,
Vamos usar a técnica de série telescópica, isto é, tentar escrever an como diferença de dois termos tn+1-tn.

Passo 2

Primeiro simplificamos an em uma forma única:
an =2n+22^n-2n2^n-1 =2n+2-4n2^n =2-2n2^n =2(1-n)2^n =1-n2^,n-1

Passo 3

Observe agora que, se definirmos
tn=n2^,n-1,
então
tn+1-tn =n+12^n-n2^,n-1 =n+1-2n2^n =1-n2^n
Logo
an=1-n2^,n-1 =2l(tn+1-tnr)

Passo 4

Como ak=2(tk+1-tk), a soma parcial é
Sn =sumk=1^nak =2sumk=1^nl(tk+1-tkr) =2l(tn+1-t1r)
Mas t1=1/2^0=1 e tn+1=(n+1)/2^n, logo
Sn =2l(n+12^n-1r) =2(n+1)2^n-2 =n+12^,n-1-2

Resposta

boxedSn=n+12^,n-1-2

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