(4,0 pontos) Questã 04: O alongamento de uma mola foi medido em função da carga aplicada. Obtendo os dados abaixo.
carga
2
4
6
8
alongamento
1,0
2,5
5,0
6,3
Obtenha um Polinômio Interpolador para os dados apresentados encontrado. Em seguida use-o para estimar o alongamento para o caso de ser aplicada uma carga de 7 kg . Trabalhe com 5 casas decimais e arredondamento.
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"Tudo tem seu tempo, tenha paciêmcia, Deus sabe o que é melhor para você e seu tempo é perfeito - Eclesiásticos "
carga
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2 | 4 | 6 | 8 |
alongamento
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1,0 | 2,5 | 5,0 | 6,3 |
"Tudo tem seu tempo, tenha paciêmcia, Deus sabe o que é melhor para você e seu tempo é perfeito - Eclesiásticos "
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma tabela mostrando como o alongamento de uma mola muda conforme a carga aplicada. A matéria envolvida aqui é Interpolação Polinomial, que ajuda a encontrar uma função que passa exatamente pelos pontos dados. Vamos precisar montar um polinômio que se encaixe nos pontos que você forneceu e depois usar esse polinômio para estimar o alongamento quando a carga for de 7 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os pontos que temos:
Precisamos encontrar um polinômio
de grau 3 que passe por esses quatro pontos.
Passo 3
Uma maneira prática de fazer isso é usar a Fórmula de Lagrange. Ela nos permite construir o polinômio interpolador diretamente a partir dos pontos dados. A fórmula geral para quatro pontos é:
Onde
são os pontos dados.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula com nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Calculando os denominadores:
Passo 6
Agora, substituindo os denominadores:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Para facilitar, podemos expandir cada produto, mas isso demanda bastante cálculo. Em vez disso, podemos usar uma calculadora ou software para encontrar o polinômio resultante. Após realizar os cálculos, obtemos:
Passo 8
Agora que temos o polinômio interpolador, vamos usá-lo para estimar o alongamento quando a carga for de 7 kg. Basta substituir
na equação:
Passo 9
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
O alongamento estimado para uma carga de 7 kg é 3,55000 cm.