Utilizando os itens anteriores, conclua se a série sumn=1^+infty an converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
Considere a sequência de termo geral
an=2 n+22^n-2 n2^n-1, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^+inftyan,
onde
an=2n+22^n-2n2^n-1(n>=1),
e, se convergir, calcular a soma. O conteúdo envolvido é teste de convergência e soma de séries, recorrendo a manipulações algébricas e soma de progressões geométricas e aritmético-geométricas.

Passo 2

Vamos simplificar an num só termo em 2^n. Observamos que
2n2^n-1=2ncdot22^n=4n2^n,
logo
an=2n+22^n-4n2^n =2n+2-4n2^n =2-2n2^n =2(1-n)2^n =1-n2^,n-1

Passo 3

Definimos a soma parcial
SN=sumn=1^Nan =sumn=1^N12^,n-1 -sumn=1^Nn2^,n-1
Agora calculamos separadamente cada uma dessas somas.

Passo 4

  1. Soma geométrica
sumn=1^N12^,n-1 =1+12+12^2+cdots+12^N-1 =2l(1-tfrac12^Nr)
  1. Soma aritmético-geométrica (usar a fórmula sumn=1^Nn r^n-1=1-(N+1)r^N+Nr^N+1(1-r)^2 com r=tfrac12):
sumn=1^Nn2^,n-1 =l[1-(N+1)tfrac12^N+Ntfrac12^N+1r]/l(tfrac12r)^2 =4-2N+42^N
Subtraindo as duas somas em SN resulta
SN =2l(1-tfrac12^Nr) -l(4-tfrac2N+42^Nr) =-2+2N+22^N =-2+N+12^,N-1

Passo 5

Para concluir, observamos que
limNtoinftyN+12^,N-1=0
Logo
limNtoinftySN=-2
Isto mostra que a série converge e sua soma é -2.

Resposta

A série converge e
sumn=1^+inftyan=-2

Exercícios relacionados