Utilizando os itens anteriores, conclua se a série
converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
Considere a sequência de termo geral
Considere a sequência de termo geral
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
e, se convergir, calcular a soma. O conteúdo envolvido é teste de convergência e soma de séries, recorrendo a manipulações algébricas e soma de progressões geométricas e aritmético-geométricas.
Passo 2
Vamos simplificar
num só termo em
. Observamos que
logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
Agora calculamos separadamente cada uma dessas somas.
Passo 4
- Soma geométrica
- Soma aritmético-geométrica (usar a fórmula
com ):
Subtraindo as duas somas em
resulta
Passo 5
Para concluir, observamos que
Logo
Isto mostra que a série converge e sua soma é
.
Resposta
A série converge e