Use a Regra de L’Hospital para Calcular os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hospital. Essa regra é útil quando temos expressões que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Aqui, como
tende a
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, então podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Regra de L’Hospital derivando o numerador e o denominador separadamente.
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Então, o limite fica:
Passo 3
Observamos novamente que, quando
tende a
,
e
também tendem a
. Portanto, podemos aplicar a Regra de L’Hospital mais uma vez.
- Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é .
Assim, o limite se transforma em:
Passo 4
Mais uma vez, percebemos que
e
tendem a
quando
vai para
. Aplicamos a Regra de L’Hospital pela terceira vez.
- Derivada do numerador
continua sendo . - Derivada do denominador
é .
O limite agora é:
Resposta
O limite é
.