Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nn 2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nn cdot 2^n
Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Razão. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o raio de convergência nos diz até que ponto (em termos de valores de x ) a série converge. O intervalo de convergência é o intervalo real onde a série realmente converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
Então, a série converge se L < 1 , diverge se L > 1 , e é inconclusiva se L = 1 .

Passo 4

Vamos identificar an na nossa série:
an = (-1)^n(x+2)^nn cdot 2^n
Como estamos interessados na convergência absoluta, vamos considerar o valor absoluto:
|an| = |x+2|^nn cdot 2^n

Passo 5

Agora, aplicamos o teste da razão:
| an+1an | = | |x+2|^n+1(n+1) cdot 2^n+1 cdot n cdot 2^n|x+2|^n | = nn+1 cdot |x+2|2

Passo 6

Calculamos o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty nn+1 cdot |x+2|2 = |x+2|2
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
|x+2|2 < 1 implies |x+2| < 2

Passo 7

Resolvendo a desigualdade:
|x+2| < 2 implies -2 < x + 2 < 2 implies -4 < x < 0
Então, o raio de convergência é 2, e o intervalo inicial de convergência é (-4, 0) .

Passo 8

Agora, vamos verificar os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
Para x = -4 :
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n(-2)^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-1)^n cdot (-1)^n cdot 2^nn cdot 2^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para x = 0 :
Substituindo na série:
sumn=1^infty (-1)^n cdot 2^nn cdot 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série harmônica alternada, que converge condicionalmente.

Resposta

O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é (-4, , 0] .

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