Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar testes de convergência de séries, especificamente o Teste da Razão. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o raio de convergência nos diz até que ponto (em termos de valores de ) a série converge. O intervalo de convergência é o intervalo real onde a série realmente converge.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que se:
Então, a série converge se L < 1 , diverge se L > 1 , e é inconclusiva se L = 1 .
Passo 4
Vamos identificar an na nossa série:
an = (-1)^n(x+2)^nn cdot 2^n
Como estamos interessados na convergência absoluta, vamos considerar o valor absoluto: