Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
sumn=0^infty (n+1)^5 x^2 n2 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita:
sumn=0^infty (n+1)^5 x^2n2n+1
O objetivo é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso faz parte do conteúdo de Séries de Potências. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele é o valor de R tal que a série converge para |x| < R e diverge para |x| > R . O intervalo de convergência é o intervalo de x onde a série realmente converge, podendo incluir ou não as pontas x = pm R .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que diz:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1 , a série converge; se L > 1 , diverge; e se L = 1 , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, an = (n+1)^5 x^2n2n+1 .

Passo 4

Vamos calcular an+1an :
an+1an = (n+2)^5 x^2(n+1)2(n+1)+1 cdot 2n+1(n+1)^5 x^2n = (n+2)^5(n+1)^5 cdot x^2 cdot 2n+12n+3

Passo 5

Agora, vamos simplificar e calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (n+2)^5(n+1)^5 cdot x^2 cdot 2n+12n+3 |
Podemos simplificar cada parte:
  1. (n+2)^5(n+1)^5 se aproxima de 1 quando n cresce.
  2. 2n+12n+3 também se aproxima de 1 .
Então, o limite fica:
L = |x^2| = x^2

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que L < 1 :
x^2 < 1 Rightarrow |x| < 1
Isso significa que o raio de convergência R é 1 .

Passo 7

Agora, vamos verificar as pontas do intervalo, ou seja, x = 1 e x = -1 .
Para x = 1 :
sumn=0^infty (n+1)^5 (1)^2n2n+1 = sumn=0^infty (n+1)^52n+1
Esse termo geral cresce com n^4 , o que significa que a série diverge.
Para x = -1 :
sumn=0^infty (n+1)^5 (-1)^2n2n+1 = sumn=0^infty (n+1)^52n+1
Da mesma forma, também diverge.

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1 e o intervalo de convergência é -1 < x < 1 .

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