Encontre o raio de convergência e intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (x+3)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (x+3)^nn^2
Isso está dentro do estudo de Séries de Potências em Cálculo. Para resolver, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste envolve calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde an = (x+3)^nn^2 .

Passo 3

Vamos calcular an+1 :
an+1 = (x+3)^n+1(n+1)^2

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an :
an+1an = (x+3)^n+1(n+1)^2(x+3)^nn^2 = (x+3)^n+1 cdot n^2(x+3)^n cdot (n+1)^2

Passo 5

Simplificamos a expressão:
an+1an = (x+3) cdot ( nn+1 )^2

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty | (x+3) cdot ( nn+1 )^2 |

Passo 7

Sabemos que:
limn to infty ( nn+1 )^2 = 1
Então:
L = |x+3| cdot 1 = |x+3|

Passo 8

Para a série convergir pelo Teste da Razão, precisamos que L < 1 :
|x+3| < 1

Passo 9

Essa desigualdade nos dá o raio de convergência:
R = 1

Passo 10

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos |x+3| < 1 :
-1 < x + 3 < 1
Subtraindo 3 de todas as partes:
-4 < x < -2

Passo 11

Precisamos verificar as extremidades x = -4 e x = -2 .
Para x = -4 :
sumn=1^infty (-4+3)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2
Essa série é a série alternada de 1n^2 , que converge.
Para x = -2 :
sumn=1^infty (-2+3)^nn^2 = sumn=1^infty 1^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2
Essa é a famosa série de Basel, que também converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é -4 <= x <= -2 .

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