Encontre uma representação em série de potências em para a função.

Passo 1

O enunciado pede uma representação em série de potências de
f(x)=11+9x^2
O conteúdo principal aqui é usar a série geométrica
11 - r = sumn=0^infty r^n, |r|<1,
e reescrever f(x) nesse formato.

Passo 2

Note que
11+9x^2 =11 -l(-9x^2r)
Aqui identificamos r = -9x^2. Só precisamos garantir lvert rrvert<1, ou seja lvert 9x^2rvert<1 (mais adiante veremos a região de convergência).

Passo 3

Aplicando diretamente a fórmula da série geométrica com r=-9x^2, obtemos
11 -(-9x^2) =sumn=0^infty (-9x^2)^n

Passo 4

Simplificando o termo geral da soma:
(-9x^2)^n = (-1)^n,9^n,x^2n
Logo a série de potências fica
f(x)=sumn=0^infty(-1)^n,9^n,x^2n

Passo 5

A condição de convergência lvert -9x^2rvert<1 equivale a
9x^2<1 Longrightarrow |x|<13

Resposta

boxedf(x)=sumn=0^infty(-1)^n,9^n,x^2n, |x|<tfrac13

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