Use séries de Taylor de sen x, cos x e e^x para obter a série de Taylor.
f(x)=e^-x2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Taylor da função f(x) = e^-x2 usando as séries de Taylor de sin x , cos x e e^x . A matéria que vamos usar aqui é a Séries de Taylor, que ajuda a representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, precisamos entender como essas séries são formadas e aplicar esse conhecimento para e^-x2 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) em torno de x = 0 (também conhecida como série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
onde f^(n)(0) é a n -ésima derivada de f(x) avaliada em x = 0 .

Passo 3

Agora, vamos focar na função que queremos expandir: f(x) = e^-x2 . Sabemos que a série de Taylor da função exponencial e^x é:
e^x = sumn=0^infty x^nn!
Aqui, cada termo da série é x^nn! , e a soma vai de n = 0 até o infinito.

Passo 4

Para adaptar essa série para e^-x2 , vamos substituir x por -x2 na série de e^x . Isso porque e^a x tem a série:
e^a x = sumn=0^infty (a x)^nn!
No nosso caso, a = -12 , então substituindo:
e^-x2 = sumn=0^infty (-x2)^nn!

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
(-x2)^n = (-1)^n (x2)^n = (-1)^n x^n2^n
Substituindo de volta na série:
e^-x2 = sumn=0^infty (-1)^n x^n2^nn! = sumn=0^infty (-1)^n x^nn! cdot 2^n

Passo 6

Podemos reescrever 2^n como (2)^n para simplificar ainda mais:
e^-x2 = sumn=0^infty (-1/2)^n x^nn!
Isso nos mostra que a série de Taylor de e^-x2 é uma soma infinita onde cada termo envolve (-1/2)^n , x^n , e n! .

Resposta

A série de Taylor de f(x) = e^-x2 é:
e^-x2 = sumn=0^infty (-12)^n x^nn!

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