Use séries de Taylor de sen
e
para obter a série de Taylor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a série de Taylor da função
usando as séries de Taylor de
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é a Séries de Taylor, que ajuda a representar funções como somas infinitas de termos polinomiais. Para resolver isso, precisamos entender como essas séries são formadas e aplicar esse conhecimento para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
em torno de
(também conhecida como série de Maclaurin) é dada por:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Agora, vamos focar na função que queremos expandir:
. Sabemos que a série de Taylor da função exponencial
é:
Aqui, cada termo da série é
, e a soma vai de
até o infinito.
Passo 4
Para adaptar essa série para
, vamos substituir
por
na série de
. Isso porque
tem a série:
No nosso caso,
, então substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Substituindo de volta na série:
Passo 6
Podemos reescrever
como
para simplificar ainda mais:
Isso nos mostra que a série de Taylor de
é uma soma infinita onde cada termo envolve
,
, e
.
Resposta
A série de Taylor de
é: