Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 x-2)^{n}}{n 3^{n}}
Passo 1
O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3x-2)^{n}}{n\,3^{n}}
que é uma série de potências em x. Queremos encontrar o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso usaremos o Teste da Razão e depois testaremos cada extremidade do intervalo.
Passo 2
Definimos
a_n = \frac{(3x-2)^{n}}{n\,3^{n}}
e aplicamos o Teste da Razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3x-2)^{n+1}}{(n+1)\,3^{n+1}} \cdot\frac{n\,3^{n}}{(3x-2)^{n}}\right| = \frac{|3x-2|}{3}\,\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} = \frac{|3x-2|}{3}.
\frac{2}{3}-1 < x < \frac{2}{3}+1 \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{3} < x < \frac{5}{3}.
Agora testamos os extremos x=-\tfrac{1}{3} e x=\tfrac{5}{3}.
Passo 5
Em x=-\tfrac{1}{3} temos
3x-2 = 3\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)-2 = -3,
logo o termo geral fica
\frac{(-3)^{n}}{n\,3^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{n}.
A série \sum(-1)^{n}/n é a série alternada harmônica, que converge por Critério de Leibniz (os termos têm módulo decrescente e tendem a zero). Assim, em x=-\tfrac{1}{3} a série converge.
Passo 6
Em x=\tfrac{5}{3} temos
3x-2 = 3\bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)-2 = 3,
e o termo geral vira
\frac{3^{n}}{n\,3^{n}} = \frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Logo, em x=\tfrac{5}{3} não há convergência.
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: \bigl[-\tfrac{1}{3},\,\tfrac{5}{3}\bigr).