Resolva as integrais utilizando a técnica adequada.
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{x^{2}-1}{\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{6}}\,dx.
O conteúdo é substituição simples (método da mudança de variável) aproveitando que a derivada de x^{3}-3x+1 envolve x^{2}-1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} - 3x + 1.
Então a derivada é
du = \bigl(3x^{2} - 3\bigr)\,dx = 3\,(x^{2}-1)\,dx
ou seja
(x^{2}-1)\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em \int \frac{x^{2}-1}{(x^{3}-3x+1)^{6}}\,dx obtemos
\int \frac{x^{2}-1}{u^{6}}\,dx = \int \frac{1}{u^{6}}\,(x^{2}-1)\,dx = \frac{1}{3}\int u^{-6}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\frac{1}{3}\int u^{-6}\,du = \frac{1}{3}\,\cdot\frac{u^{-5}}{-5} = -\frac{1}{15}\,u^{-5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos
-\frac{1}{15}\,\bigl(x^{3}-3x+1\bigr)^{-5} + C.

Resposta

-\frac{1}{15}\,(x^{3}-3x+1)^{-5} + C.

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