Resolva as integrais utilizando a técnica adequada.
\int(2+5 \cos t)^{3} \operatorname{sen} t d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int (2+5\cos t)^3 \sin t \,dt.
Vamos usar a técnica de substituição, pois a derivada de \cos t (que é -\sin t) aparece na integral.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 2 + 5\cos t,
temos
du = -5\sin t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \sin t\,dt = -\tfrac{1}{5}\,du.
Substituindo na integral,
\int (2+5\cos t)^3 \sin t\,dt = \int u^3\Bigl(-\tfrac{1}{5}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{5}\int u^3\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
-\tfrac{1}{5}\int u^3\,du = -\tfrac{1}{5}\cdot\frac{u^4}{4}+C = -\frac{u^4}{20}+C.
Voltando à variável t, obtemos
-\frac{(2+5\cos t)^4}{20}+C.

Resposta

-\frac{(2+5\cos t)^4}{20}+C

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