1. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} x^{n}}{\sqrt{n+1}}
[O raio de convergência é R=1 / 3 e o intervalo de convergência é -1 / 3<x \leq 1 / 3 ]

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n} x^{n}}{\sqrt{n+1}}
e pede o raio de convergência R e o intervalo em que a série converge. Para isso, vamos usar o teste da raiz n-ésima para encontrar R e depois testar os casos x=1/3 e x=-1/3.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz n-ésima na parte absoluta do termo geral:
a_n = \frac{(-3)^{n} x^{n}}{\sqrt{n+1}} \quad\Longrightarrow\quad |a_n| = \frac{|3x|^n}{\sqrt{n+1}}.
A raiz n-ésima de |a_n| é
\sqrt[n]{|a_n|} = |3x|\;\bigl(n+1\bigr)^{-\tfrac{1}{2n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; |3x|\cdot 1 = |3x|.
Pelo teste da raiz, a série converge se \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1, isto é, se
|3x| < 1.

Passo 3

Da condição |3x|<1 obtemos
|x| < \frac{1}{3},
logo o raio de convergência é
R = \frac{1}{3}.

Passo 4

Agora testamos o endpoint x = \tfrac{1}{3}. Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
Essa é uma série alternada cujos termos \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}} decrescem para 0, então converge por critério de Leibniz.

Passo 5

Testamos o endpoint x = -\tfrac{1}{3}. Substituindo,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^{n}\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{n}}{\sqrt{n+1}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Como \displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}\sim n^{-1/2} e 1/2\le1, essa série diverge (série p-com p=1/2).

Resposta

O raio de convergência é R = \tfrac{1}{3} e o intervalo de convergência é
-\tfrac{1}{3} < x \le \tfrac{1}{3}.

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