Use a identidade x=e^{\ln x} para x>0 para mostrar que
\lim _{k \rightarrow \infty} a^{k}=0
se |a|<1;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se |a|<1, então
\lim_{k\to\infty}a^{k}=0.
Vamos usar a identidade x=e^{\ln x} para x>0 e, em seguida, o Teorema do Aperto (ou Squeeze) para concluir o resultado.

Passo 2

Para eliminar o sinal de a (que pode ser negativo), consideramos primeiro |a|^k. Como |a|>0, podemos aplicar a identidade x=e^{\ln x}:
|a|^k \;=\; e^{\ln\bigl(|a|^k\bigr)} \;=\; e^{k\ln|a|},
onde usamos \ln\bigl(|a|^k\bigr)=k\ln|a|.

Passo 3

Como |a|<1, temos imediatamente \ln|a|<0. Portanto
k\ln|a|\;\longrightarrow\;-\infty \quad\text{quando }k\to\infty,
e daí
|a|^k \;=\; e^{k\ln|a|}\;\longrightarrow\;e^{-\infty}=0.

Passo 4

Observamos que para todo k vale
-|a|^k \;\le\; a^k \;\le\; |a|^k.
Como \lim_{k\to\infty}|a|^k=0, pelo Teorema do Aperto segue que
\lim_{k\to\infty}a^k=0.

Resposta

\lim_{k\to\infty}a^k=0.

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