( 35 pts ) Um motor elétrico, após ser desligado, tem sua temperatura \mathrm{T}(\mathrm{t})\left(\mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}\right) descrita pela seguinte EDO:
\frac{d T}{d t}=-k\left(T-T_{a m b}\right)
onde: k=0,1 \mathrm{~min}^{-1} é a constante de resfriamento e T_{\text {amb }}=25^{\circ} \mathrm{C} é a temperatura ambiente. No momento em que o motor é desligado (\mathrm{t}=0), sua temperatura é \mathrm{T}(0)=80^{\circ} \mathrm{C}. Usando o método de RungeKutta de segunda ordem, com passo h=0,5, estime a temperatura do motor quando t=2 \mathrm{~min}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dT}{dt} = -k\bigl(T - T_{\text{amb}}\bigr)
com k = 0,1\\ \mathrm{min}^{-1}, T_{\text{amb}} = 25\\ ^\circ\mathrm{C} e condição inicial T(0)=80\\ ^\circ\mathrm{C}. Queremos T(2) usando o método de Runge–Kutta de 2ª ordem (ponto‐médio) com passo h=0,5.

Passo 2

O método do ponto‐médio para \frac{dT}{dt}=f(T) é
k_1 = f(T_i),\quad k_2 = f\Bigl(T_i + \tfrac{h}{2}k_1\Bigr),\quad T_{i+1} = T_i + h\,k_2.
No nosso caso
f(T) = -0,1\,(T - 25),
e o número de passos necessários de t=0 a t=2 é
N = \frac{2 - 0}{0,5} = 4.

Passo 3

Primeira iteração t_0=0\to t_1=0,5:
k_1^{(0)} = f(T_0) = -0,1\,(80 - 25) = -5,5
T_{\mathrm{mid}} = 80 + 0,25\cdot(-5,5) = 78,625
k_2^{(0)} = f(T_{\mathrm{mid}}) = -0,1\,(78,625 - 25) = -5,3625
T_1 = 80 + 0,5\cdot(-5,3625) = 77,31875\\ ^\circ\mathrm{C}

Passo 4

Segunda e terceira iterações: aplicando o mesmo procedimento para t_1\to t_2=1,0 e t_2\to t_3=1,5, obtemos
T_2 \approx 74,76821\\ ^\circ\mathrm{C}, \quad T_3 \approx 72,34201\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Quarta iteração t_3=1,5\to t_4=2,0: repetindo o processo, chega‐se a
T_4 \approx 70,03409\\ ^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A estimativa pelo método de Runge–Kutta 2ª ordem é
T(2)\approx70,03\\ ^\circ\mathrm{C}.

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